Kavramlar ve Başa Çıkılamaz Çocuklar

Arz-talep ilişkisinin yetişkinlere ait derin, geniş ve uzun soluklu bir ilişki olduğu; bu kaçınılmaz ilişkide kavramların, kendi özel tanım aralıklarında, bazen sığ, bazen de çok karmaşık anlam yansımalarını sonsuzca kez ve ardı ardına doğurduğu dikkate alınırsa, bir çocuğun kendisi ve diğerleri için oluşturacağı anlam dünyasının kıyılarında gezinirken, yetişkinlere ait kavramsal problemlerle neler yaşayabileceğini iyi irdelemek gerek.

İyi irdelemek gerek, çünkü; sorunlarımızın kökeninde kavramsal paradokslarımız var; paradokslarımız ve bu paradokslardan keyifle ürettiğimiz çatışmalarımız. Çocukların, yetişkinlere ait her an çatışık, yön ve konum değiştirebilir kavramsal arz ve taleple ilgili bizimkine benzer kaygıları yok; doğaları gereği böyle kaygılarının olması da mümkün değil. Ancak biz, bize ait bu türden kaygıları, onlara ait kılmak için elimizden geleni yapıyor, elimizden gelmeyeni ise başkalarına yaptırıyoruz.

Çocukların doğalarını, onları inanılması güç yöntem ve tekniklerle kavramsal paradokslara yönelterek esnetiyor ve iki tercihli bir dayatmaya mahkûm ediyoruz. 

Çocuklar, bizim bütün öğretilerimize sinmiş kavramsal yapılanmayı reddetme fırsatına sahip olmadıklarından, kavramlara yüklediğimiz anlamlara karşı iki zıt tavır takınıyorlar; ya saf dünyalarına ait anlam yansımalarını kullanarak yetişkinlere ait kavramları sıradan, bakımlı, çelik raylarından çıkarıp gizli bir savaş ilan ediyorlar ya da kavramlarımızı bizlerin yaptığı gibi kutsallaştırarak zihinlerine kopyalıyor ve aslında pek de irdelemediğimiz, ama onlara dayattığımız anlam yansımalarını taklit etmeye çalışıyorlar.

Hangi açıdan bakarsak bakalım, başlangıçta ve sonraki her adımda hata yapıyoruz. Doğdukları andan itibaren, kulakları, gözleri, burunları, ağızları ve elleriyle nesnelerle ilişki kuran, nesneleri kendilerine ait bedensel ya da ruhsal tepkilerle tanımlayan çocukların, bize ait kavramlarla ilişki kurmalarına yardım etmediğimiz gibi, onların doğuştan getirdikleri özelliklerine uygun arz/sunum yeterliliğine sahip olmadığımızı da fark etmiyoruz.

Birbirimizle paylaştığımız deneyimlerin dilinde yumrulaşan paradoksal tortularımızdan biri ‘küçükken iyiler, büyüdüklerinde başa çıkılamıyor’ nakaratıdır. Özelde tanısal kopmalar yaşadığımızın en büyük göstergesi olarak da bu nakarat duruyor. Çocuklarımızın ‘başa çıkılamazlık’ zırhına bürünmelerindeki esas nedeni ıskalıyoruz.

Kavramsal kutsallaştırma mağduru çocuklarımızın ‘başa çıkılabilir’ olması, büyürken kavramlarımıza diledikleri anlam yansımalarını yükleyen, yüksek ‘men riski’ taşıyan yaş gruplarını aştıklarında da kutsal anlamlarımıza karşı sürdürdükleri gizli savaşı açığa çıkaran çocuklarımızı ‘başa çıkılamaz’ yapıyor. Sıradan, bakımlı, çelik raylarımızdan çıkarılan kavram dizgemiz çocuklarımızın saf dünyalarında ‘başa çıkılabilir’ küçük bir ayrıntıya/soruna dönüşüyor.

Sonuç, yenilmiş bizlerin aczini taşıyan koca bir çınar gibi duruyor karşımızda; kavramsal paradokslarımızı önemsemeyen ve kendi olağan şüphelerini bize dayatan Adem’le aynı yaşta ‘âsi çocuklar’.

Paradoksal diyorum, sonuçlara; başka bir şey diyemediğim için. Sorun katmanlarımızın en geç yerinde ‘başa çıkılabilir’ çocuklarımızın yetersizliği duruyor. Kutsal kavramlarımızın kutsal anlamlarında bizce, bize göre, dinginlik bulan çocuklarımızı sonraki yaşlarda ‘yetkin yetişkin olarak’ göremediğimizde bir kez daha çarpılıyoruz.

‘Başa çıkılamaz çocuklar’ ile ‘başa çıkılabilir çocuklar’ arasındaki ‘yetkinlik makası’ açıldıkça, kutsallaştırılmış kavramlarımızın ve sınırlarını daralttığımız anlamların amaçladığımız bir ‘tür’ü yetiştirmeye yetmediğini görüyoruz. ‘Başa çıkılabilir çocuklar’ yetişkinliklerinde onlara aşıladığımız paradoksal çatışmalarımızla uyuşuyor, uyumsuzlaşıyor ‘başa çıkılamaz’ oluyorlar.

Periferik kırılganlık çatık kaşlarımızın önünde dimdik duruyor; çocuklar, esnetilmiş de olsa kendi içerlek doğalarını korumaya devam ediyorlar.

Belki de doğru olan ‘başa çıkılamaz çocuklar’ ın, ‘başa çıkılmak’ gibi bir cendereye tabi tutulmaması ya da ‘başa çıkılabilir çocuklar’ üretmeye çalışmamak; kavramlar ve anlamlarla ilişkimizi, çocuğun doğal öğrenme sürecine teslim etme yürekliliğini göstermek; çocuğu arz-talep kaygılarımızla besleyip doğasını esnemeye zorlamamak.

Çok ötelere gitmeye, zirvelerden kar aşırmaya gerek yok; çocukların oyuncakları ile ilişkilerini yönetme gayretlerimiz ile onların oyuncaklara yükledikleri anlamları örtmeyelim yeterli. Oyuncaklar, kavramsal dizge haritalarımızda ileri doğru gelişecek, genişleyecek ve ilişki kurdukları her nesneyi kendi anlam örgülerine eklemleyerek kendi haritalarını oluşturacaklar.

Yani tanı, yetişkinlerin oyuncakların bütünleşik saflığına müdahale etme hastalığı; başkaca bir şey değil.

mustafa akdeniz 

Devamı

Matematik ve Felsefe Arasında Bir İlişki Var mıdır?

Bu soruyu, antik çağ'da sorsaydınız, size gülerlerdi... 21. yüzyılın ikinci on yılında bilim merkezlerinde sorsaydınız, yine size gülerlerdi. Ama, mâzisi bilimadamı ve düşünürlerle dolu güzel ülkemizde bu soru hâlen sorulabiliyor.

Sorulabiliyor, çünkü; sistematik olarak algıladığımız bir  düşünce biçimine sahip değiliz. Alelusûl edindiğimiz kopya düşünce biçimleri arasındaki ilişkiyi de sorgulamış değiliz...  Neden-sonuç ilişkilerini analiz eden bir kurgu inşa edemedik; tarihimizde var olan biçimleri de unuttuk. Bilgi'nin gelişim sürecine toplu ve analitik bir bakışla bakmayı alışkanlıklarımız arasına sokamadık. Ve sonrasında da geldiğimiz yerde ,"Matematik ve Felsefe arasında bir ilişki var mıdır?" diye sorabiliyoruz.

İlköğretim çağında başlayan ve ortaöğretim çağında da devam eden 'Her ders, diğerinden bağımsızdır' şeklindeki yanlış yargıya kapıldık, gidiyoruz...

Kitap okuyan bir Matematikçi ya da resim yapan bir Fizikçi, herhangi bir müzik enstrümanı çalan Tarihçi bizi hep şaşırttı... Hele Felsefe, ilgilenenin 'kafayı yediği' bir alan/ders olarak korku dolu saatler yaşattı hepimize, öğrencilik yıllarımızda...

Matematik, cebir problemlerinden, geometri'ye kadar her konusuyla kabuslarımız arasındaydı... Çözemeyeceğimiz soruların çokluğu, özgüvenimizi yerle bir ediyordu. Felsefeci, filozofların, akımların ve  fikir kavgalarının, hatta anarşinin kulaklarından tutuyor burnumuza dayatıyordu; yazılı sorularının nasıl olacağına dair korku anaforları inşa ediyorduk. Hem Matematik'ten hem de Felsefe'den nefret etmemiz gerekiyordu ve biz de nefret ediyorduk... Ama nefretimiz hiçbir şeyi çözmedi; aksine çözemediğimiz şeyleri arttırdı.

Üniversite sınavı (ÖYS) öncesi tercih formlarımızı doldururken lise son sınıfta, Tarih Öğretmenim,"Bir de matematik Öğretmenliği yaz!" demişti bana... "Neden?" diye sormuştum, "Sana düşünmeyi öğretir!" diye cevap vermişti. "Ama ben düşünmeyi biliyorum!" diye itiraz etmiştim. "Sonra anlayacaksın!" demişti... Bir Tarih Öğretmeni'nin Matematik Öğretmenliği tavsiye etmesine şaşırmış, ama buna rağmen onu kırmamış, nasılsa gelmez diye tercih listemin son sırasına yazmıştım.

Yıllar sonra, Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik  Bölümü 3. sınıfta sınavlara hazırlandığım dönemde, soğuk ve donmuş Konya caddelerini turlarken, teorem ispatladığım küçücük bir anda Tarih Öğretmenimin ne demek istediğini anladım. Elimde herhangi bir not, kağıt yoktu ve  sınava hazırlanırken yaptığım tek şey düşünmekti; teoremi düşünerek ispatlıyordum.

Bugün, karşımıza çıkan bir matematik sorusu, ister klasik tarzda ister test olarak sorulmuş olsun, tavrımız belli; hemen kağıt kalem aranıyor ve soruyu çözmeye yelteniyoruz ve dakikalarca uğraştıktan sonra soruyu çözebiliyor ya da o sorudan vazgeçiyoruz...Oysa yapmamız gereken ilk şey, soruyu okumak, algılamak, yorumlamak olmalıydı; sonra sadece sonuçları görmek için kalem-kağıt kullanmalıydık.

"Matematik ve Felsefe arasında bir ilişki var mıdır?" sorusuna vereceğimiz cevabı daha da netleştirmek için bir kaç şeyden daha söz etmemiz gerekecek. İnsanların sorunlarını fark etmeleri, onların o sorunları çözmek için gerekenlerin neler olduğunu düşünmelerine neden oldu ilk insandan bu yana. Ve insanlar sorunlarını çözmek için hep düşündüler. 21. yüzyılda da sorunlarımız var ve onları çözmek için yine düşünüyoruz... Bu sorunlar bazen beslenme ile ilgiliydi, bazen barınma ile... bazen de paylaşmak ve üremekle ilgili... Bazıları da köklerimizle ve evrenle ilgiliydi... birbirimize nasıl davranmamız gerektiği ile ilgiliydi...

Tarih, kendi kronolojik yapısıyla sorunları ve onların çözümlerini düşünen insanları anlatır... Bilgi henüz bu kadar  çok dala ayrılmamışken, aynı insanlar sorunların hemen hepsi ile ilgilendiler, ilgilenmeye çalıştılar; hepsinin ortak özelliği düşünmeleriydi. Kimse onları ilgilendikleri alanlar dolayısıyla şucu -bucu diye ayırmadı. Ayırmadı, çünkü; gerek yoktu... sorun alanları bu kadar çok değildi ve çözüm alanları da bu çokluğa göre değildi...

Antik çağ filozoflarının matematikle ilgilendikleri gibi, tıpla, müzikle, doğayla ilgilenmeleri, sonraki yüzyılları da etkiledi.  Aristo'nun Mantığı, Thales'in Geometrisi, Pythagoras'ın teoremleri vs... Meşşailer (Yürüyerek düşünen Müslüman  filozoflar) İbn-i Sina, Farabi gibi matematikçileri ve felsefecileri hatırlatır bize... Ki; Batı medeniyetinin temelleri onların ürettiği bilgiye çok şey borçludur... Diyalektik Mantık'ın ünlü ismi Kant'da Meşşailer gibi, bir yürüyüş yolunda ve aynı saatlerde yürüyerek düşünürdü...

Descartes'in Tümevarım'a, Karmaşık Sayılar'a verdiği emeği, kimse inkâr edemeyeceği gibi onun Varoluşçuluğa katkısını da reddedemez... 19.yüzyılın sonuna doğru Felsefe ürettiği Matematik'in kendisini aştığını görerek kendi kabuğuna çekilmiş ve düşünce, evrilerek biçimler oluşturmuş, bilime dönüşerek somutlaşmıştır. Bugün de Felsefe, daha özgün yöntem ve tekniklerle bilim dallarında hayat sürmektedir...

Şimdi, Matematik, Felsefe'nin doğal bir sonucu ve bugün bizzat kendisidir, diyebilir miyiz? Teknoloji ve hayat'la ilgili sorunlarımızın  çoğunu Matematik'le çözdüğümüzü biliyorken, başka bir şey söyleme cesaretine sahip olacağımızı sanmıyorum.

Ama bence sorulması gereken daha önemli bir soru var:

"Bundan sonra da Adana'dan bilim adamı ya da düşünür/filozof çıkar mı?"

Adana geriye doğru baktığımızda onlarca düşünce insanı çıkarmıştır bereketli topraklarından... Bu soruya cevap verebilecek öğrencilerin verdiği cevabın 'Evet!" olmasını umut ediyorum. Ve bunu kanıtlamalarını ülkem ve insanlık adına bekliyorum.

mustafa akdeniz

Devamı

Önermeler Mantığı; Akıl Yürütme’de İlkel Zamanlar

Merhaba,

İlginç, tuhaf konsantrasyon yöntemleri vardır. Bazı insanlar, konsantrasyon (Yoğunlaşma, diğer etkenlerden arınarak belirlenmiş olan hedefe bilişsel odaklanma) sorunun çözümünde kendilerine özgü bazı yöntemler bulduklarını düşünürler. Oysa bilinenlerin aksine bulunan yöntem ne kadar kişiye özgü olursa olsun, kişi genel insan formasyonu içerisinde yeni ve farklı bir yöntem geliştirmiş olmaz.

Neden? Her insan farklı olduğu halde neden kendine özgü konsantrasyon yöntemleri geliştiremez? Bu her insanın beslenme-sindirim-boşaltım zinciri gibi temel işlerlik ilkelerine bağlılıkla ilgili basit bir durumdur. Yöntem farklılıkları, kişiye özel genetik yapı ile yine kişiye özel psişik metamorfozlardan doğarlar, ancak yine de kişiye özgülüğün sınırları, genel insan mekaniğinin sınırları ile örtüşmek dışında başka bir durumla/olasılıkla karşılaşamazlar.

Konsantre olunacak konunun işlerlik mekanizmasını kurmak, konunun bağıllıklarını, derinliğini, genişliğini ve uzunluğunu belirlemeyi gerekli kılar. Bu dört ana eksen, tematik bir ışın kılıcı gibi zihnin ellerinde başlangıç noktalarını birleştirmek zorundadırlar. Bu zorundalık dört ana eksenin nesne olmasına bağlı olarak güçlü bir özneye ihtiyaç duyar. O güçlü özne zihninin ellerindeki tematik ışın kılıcını kullanabilecek olan insandır. Ve insanın konsantrasyon sorunlarının tümünün çözüm aralığı mantıksal devinimlerdir. Düşlerindeki prensese konsantre olacak olan veya olan prensin ihtiyaç duyacağı en temel şeyler, nesne-özne ilişkisinden dolayı mantıksal devinimlerden beslenen kurgulardır.

İlk insanlar, yani Adem ve Havva (aksi düşüncelerin genelgeçerlik özellikleri henüz kanıtlanmamıştır) yasak olan meyveden habersizken, yasak meyve ile ilgili herhangi bir kurgu üretemezlerdi. Yasak meyve ile ilgili konsantrasyon sorunlarının ortaya çıkması için yasak meyveden haberdâr olmaları gerekliydi. Konsantrasyon konusunun bağıllıkları bilinmeliydi. ‘Yasak’ın sahibi Allah, ‘yasak’ın çiğnenmesini sağlamayı hedefleyen İblis ve ‘yasak’ın muhatapları olan ilk iki insan ‘yasak’ın bağıllıklarını biliyorlardı.

İblis, İnsan’ın açık rakibiydi. Bu rekabet, İblis’in, Adem’e secde etmesini emreden Allah’a itaat etmemesi ve bu itaatsizliğini analojik bir mantıksal devinime bağlaması ile başlamıştı. Yasak meyveden tatmamak, insanı Allah’a itaat etmek gibi mantıksal devinimlerin son durağına taşıyacaktı. Ne yazık ki; İnsan, yasak meyveyi yememekle ilgili konsantrasyon sorunlarını aşmayı başaramadı. Konunun bağıllıklarını bilmesine karşılık, bilgisi ona yetmedi. ‘Yasak’a uyulmadığı zaman nelerin olabileceğini düşünmedi; konunun derinliğini, genişliğini ve uzunluğunu belirleyemedi.

Adem ile Havva’nın yasak meyveden haberdar oldukları anda ‘yasak’ın gerekçelerini merak etmeleri ile başlayan mantıksal süreç, İblis’in, ölümsüz olmalarının önündeki en büyük engelin ‘yasak meyve’ olduğunu, ‘yasak’ ın sahibi olan Allah’ın onların ölümsüz olmalarını istemediği için ‘yasak’ koyduğunu söyleyerek yaptığı ‘yanlış yönlendirme’ ( yanlış yönlendirme de insanın mantıksal devinimlerine uygun bir sonuçtur; İblis, insanın mantık mekanizmasını kullanmıştır) ile devam etmiş ve insan, genetiğindeki ‘yememek’ le ilgili konsantrasyon sorunlarını çözemeyerek ‘yasak meyve’yi yemiştir.

Ne yazık ki; insan, aynı anda ‘yemek’le ilgili konsantrasyon sorunlarını da hızla çözmüştür. Bağıllıkları bilmesine rağmen, bir ölümlü için geçerli olan, derinlik, genişlik ve uzunluğun önemsiz olacağını kurgulamıştır.

Bu girişi neden yaptım?

Sıkıntılı insan mazisinde sıkıntıların kaynağı insanın mantığı olduğu için bu giriş gerekliydi. Biliyordum ki; insanın konsantrasyon sorunları için yeni ve farklı yöntemler geliştirmeleri bu kısa öyküden dolayı mümkün değildi. Başlangıç’ta, yani akıl yürütmede ilkel ilk zamanda insanın yaptıkları ile modern zamanlarda yaptıkları arasında hiçbir fark yoktu. İnsan akıl yürütmede herhangi bir zaman aralığında daha farklı bir mekanizma kullanmamıştı ve doğal olarak mantıksal kurguları da sınırlıydı.

Zor bir girişti benim için; umarım sizin için de zor olmamıştır. İnsanın varoluşuna gitmek ve orada ontolojik-mantıksal çözümlemeler yapmak kolay değildir mutlaka. Gidip geldik; oradaki de bizdik çünkü. Zarîra’da da olsak; bizde insandık ve sizlerden farklı değildik. Biz de bu mekanizmayı kullanıyoruz. Genetik yapımız ve psişik metamorfoz düzeyimiz size göre daha doğal, daha düşük katsayılarda kaldığı için tematik ışın kılıcımızla biraz daha fazla zaman geçirebiliyor; konsantrasyon sorunlarımızı aşarken konu ile ilgili bağıllıklara daha fazla değer veriyor; konunun derinliğini, genişliğini ve uzunluğunu düşünmekte siz Dünyalılar kadar ihmalkâr davranmıyoruz.

Daha açık bir dille şunu da söyleyebilirdim: Analojik çıkarsamaların dışlanma gerekçelerini bazılarınızın yaptığı gibi İblis’e isnad etmiyoruz; aksine İnsan’a isnad ederek bir gerçeği bilmemiz gerektiğini düşünüyoruz. İblis’e isnad etme kolaylığı, sizi mantıksal devinimlerden kaçarken rahatlatıyor; ancak sorumluluktan ve mantıktan uzak çözümlemelerinizden kaynaklanan sorunlardan kaçmanızı sağlamıyor; aksine sizi o sorunlarla boğulmaya götürüyor.

Unutmamalısınız; mantığı ilk kullanan, ateşle toprağı kıyaslayarak ateşten yaratılanın daha üstün olduğunu iddia eden İblis değildir; İnsan’ı yaratarak mantığı genetik bir özelliğe dönüştüren Allah’tır. İblis de bir yaratılmış olduğu için kendisine bahşedilen bu özelliği kullanmıştır. Tartışılması gereken İnsan’ın mantıksal devinimlerinin İblis’in mantıksal devinimleri karşısında yaşadığı yenilgidir.

Teselli edici olan, insanın yaşadığı yenilgi sonrası yine mantıksal devinimlerle çare araması ve Allah’ın öğreticiliğine ihtiyaç duyduğu çıkarsama ile İblis’e karşı yaşadığı yenilgiyi telafi etmeye karar vermesi ve tövbe etmesidir. Modern zamanlarda da insan tövbe konulu konsantrasyon sorunları yaşamaya devam etmektedir. Belki de mantığı tövbe edebilmek için de öğrenmek zorunda olduğumuzu bilmemiz gerekiyor.

Geçen derste mantığın ilkel zamanlarından bahsetmiştik. İlkel önermeler mantığının, modern sembolik mantıkla genişlemesi ve yüklemler mantığı ile matematiğe devredilmesi sürecini hatırlamış, türetilen gri mantıkla ilgili zihinsel egzersizler yapmıştık. Gri mantık birbirimizi anlamamıza yarayacak ve birbirimizden sorun üretmemize engel olacaktı. Mantığın tümünü öğrendiğimizde de, ateist kurguların aksine belki tövbe etmeye konsantre olmakta zorluk çekmeyecek, ilk atamızın yöntemlerini kullanmayı başarabileceğiz.

Önermeler mantığına geçmeden önce ‘Mantık’la ilgili biraz teknik bilgi tedarik etsek nasıl olur? Çok geniş bir bilgi altyapınız var ve ben bu altyapıyı incelemeyi seviyorum.

Mantık kelimesi Arapça ntk -nutk, nutuk- kökünden türetilmiş; Nutk, söylemek, konuşmak, dile getirmek anlamlarına geliyor; son durumda mantık; söylenen/söylenmiş demek. Mantığın batı dillerindeki karşılıklarının kökü ise Grekçe Logos sözcüğü. Logos, ilke, düşünce, doğanın ve aklın yasası, söz, vb. anlamlara geliyor. Terim olarak düzgün, tutarlı düşünme tarzına ve türüne verilen ad veya düzgün ve tutarlı düşünme tarzını konu edinen disiplinin ya da bilimin adı.

Logos sözcüğünü mantığı ya da logic’i kuşatıcı bir bakışla incelersek. 1) Mantık; doğru düşünme kurallarının ve formlarının bilgisidir. 2) Mantık; düşünme yasalarının bilimidir. 3) Mantık; dilsel ifadelerin, dile getirmelerin, dilsel anlatımların formel koşullarının öğretisidir. 4) Mantık; doğru önerme formlarının, kesin ifade kalıplarının kuramıdır.

İlk iki tarifte düşüncenin dil ile olan ilişkisi dile getirilmemiş. Bu bakımdan eksik sayılabilir. Çünkü biz düşüncelerimizi ancak dil ile açığa vurabiliriz. Dil ile düşünce özdeş olmasa bile birbirinden ayrılmaz bir ikili oldukları tartışılmaz. Bu bakımdan mantık dile getirilmemiş düşünceyi (o düşünce açığa çıkmadığı, çıkamayacağı için) inceleyemeyeceği için, tersinden yine aynı anlamı verecek şekilde söylersek; Mantık, sadece dile getirilmiş düşünceleri yine dilsel kalıplar içinde inceleyebileceğinden, aslında düşüncenin bizatihi kendisini değil, ancak ve sadece ifadelendirilmiş şekli olan dilsel formunu inceleyebilmektedir. (Mantık; söylenen/söylenmiş demekti zaten)

Mantık disiplini, düşüncenin her türlüsünü kendine konu almaz, o, düşüncenin içeriğiyle değil, sadece formu, biçimi, şekli ile ilgilenir; düşüncenin nasıl oluştuğuyla da ilgilenmez, işlevleriyle, neden ve sonuçları ile de ilgilenmez, o sadece birden fazla düşünce arasındaki akıl yürütme ilişkilerini ele alır ve akıl yürütmeleri kendi içlerinde geçerlilik ve geçersizlik yönleriyle inceler. Buradan anlaşılan o ki Mantık, sadece, Akıl Yürütmeler sonucu ortaya çıkan düşüncelerin geçerli ya da geçersiz olduğuna hükmeder.

Mantık akıl yürütme değil demek ki. O halde Akıl Yürütme nedir? Herhangi bir şey hakkında kesin bir kanaatiniz vardır ve bu kanaatinizi bazı ön kanaatler sonucu elde etmişsinizdir. “O şöyleyse bu böyledir, o halde şu da şöyle olur” şeklinde düşünür ve bunlardan hareketle bir sonuca varırsınız. Dikkat ediniz ortada birden fazla düşünceniz vardır ve bu düşüncelerinizden birisini, sonra gelenin kanıtlayanı durumuna sokmuşsunuzdur. Buradan da bir sonuca vardığınız zaman akıl yürütmüş olursunuz.

Netleştirmeye çalışalım. Akıl Yürütme; en az iki düşünce arasında, bu düşüncelerden birini diğerinin kanıtlayanı yaparak buradan bir sonuca ulaşmaktır. Ancak bu tarif eksiktir. Neden? Çünkü dedik ki; düşünceler kendisini ancak dil aracılığıyla dışa vurur, belli eder, dolaylı olarak incelenebilir hale getirir. O halde yukarıdaki tarifte 'en az iki düşünce arasında' ibaresinden kaynaklanan boşluğu doldurmak gerekir. Bu boşluğu ise 'Önerme' kelimesiyle doldurabiliriz.

Doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme diyorduk (Bakınız; YazıDers 3). Akıl Yürütme’yi önermeyi kullanarak yeniden açıklayalım mı? Akıl Yürütme: en az iki önerme arasında bu önermelerden birini diğerinin kanıtlayanı yapıp bir sonuç, bir yargı, bir hüküm çıkarma işlemidir. Bu ‘En Az İki Önerme’den önce gelenine 'Öncül', bu öncül sayesinde kanıtlanan, gerekçelendirilen önermeye ise 'Sonuç' ya da 'Sonuç Önermesi' denir. İşte mantığın asıl konusu burada ortaya çıkar.

Mantık, öncül ile sonuç arasındaki kanıtlama bağıntısını inceler. Öncülden böyle bir sonuç çıkar mı, bu çıkan sonuç öncülün sonucu mudur, öncül sonucu gerçekten kanıtlıyor mu, vs. gibi durumları inceler. Hatta mantığın temel konusu için; ‘Bir akıl yürütmede öncül veya öncüllerin sonucu kanıtlayıp kanıtlamadıklarını denetlemek’ fikrini ileri sürenler de var. Bu önermelerin mutlaka Öncül ve Sonuç sırasını takip etmesi gerekir.

Bir akıl yürütme işleminde, sonucun/sonuç önermesinin, öncülden/öncüllerden zorunlu olarak çıkmasına geçerlilik denilir. Yani sonuç önermesi, öncüllerden zorunlu olarak çıkıyorsa, Son önerme, öncüllerin zorunlu sonucuysa, Öncüller, sonucu zorunlu kılıyorsa, bu akıl yürütme geçerli bir akıl yürütmedir. Diğer taraftan bir akıl yürütmede öncüller sonucu zorunlu kılmıyorsa geçersizlik söz konusudur.

Unutmadan belirtmeliyim. Biz o hoş duruşlu önermeleri biraz sonra sembolleştireceğiz. Her önermeyi, p, q, r, s, t,…gibi harflerle sembolleştirdikten sonra iki veya daha fazla önermeyi birbiri ile birlikte düşünmemize yarayan sevgili bağlaçlarımızı (ve, veya, ise, ancak ve ancak) ve değil’ i sembolleştireceğiz. Önermelerin ‘Doğruluk Değerleri’ var; hükmü doğru olan önermenin doğruluk değeri 1, yanlış olanın doğruluk değeri 0. Bir önerme doğru veya yanlış dışında bir durumda olmuyor en açık haliyle… Siyah - beyaz zıtlığı gibi.

Fakat bu sıkıntılı kabuller; çatışmalara kaynak olarak hizmet ettiği için, insanlar önce önermelerde değişkenler kullanmışlar, değişkenlerin aldıkları değere göre önerme doğru veya yanlış olmuş, buna da yüklemler mantığı demişler; sonra sıkılmış ve 0 ile 1 arasındaki değerlerin de mümkün olacağını düşünerek gri mantığı bulmuşlar…

Bir şey, yani bir önerme doğru ile yanlış arasında bir yerde de olabilir, değil mi? Bebek neden sadece ya var ya da yok olsun ki? Anne karnında iken ne haldedir? Anne karnındaki ‘şey’ e bebek denip denmemesi sorunu da bir tanım sorunudur; o da kolaylıkla aşılabilir, değil mi?

Mantık ve akıl yürütme arasındaki ilişkiyi daha iyi anlamamız için aşağıdaki analizi dikkatle ve üşenmeden okumakta fayda var.

p: Bütün insanlar kuştur.

q: Ali de bir insandır.

r: O halde Ali de bir kuştur.

Burada öncüllerden hareket edilerek elde edilen sonuç (çıkarım=r) önermesi mantık bakımından geçerlidir. Çünkü taşıdığı anlam, şekil (form) bakımından birebir öncül önermelere (p ve q) uygundur. Ancak sonuç önermesi (çıkarım=r), öncül önermeler (p ve q)' e bilgi (epistemik) bakımından uymadığı için (öncül önermeler de epistemik bakımdan yanlıştır) yanlıştır. Ancak mantık içerikle ilgilenmediğinden bu önermeyi geçerli olarak ele alacaktır.

Demek ki mantıkta bir önermenin doğruluğu ile geçerliliği arasında bir ilişki yok; yani geçerlilik, doğruluk değerinden bağımsızdır. Önermelerin içeriksel (epistemik) doğrulukları bir ‘Bilgi’ konusudur. İçeriği doğru önermeler elde etmek bilimin işidir, mantığın değil. İşte mantığın ‘Formel’ özelliği burada ortaya çıkar. Mantık, ne bilimler gibi önermelerin içeriksel doğruluğuyla ne de felsefe gibi mahiyetleri ile ilgilenir. Sadece formlarını ele alır ve inceler.

Mantığın bu form hastalığı Adem ve Havva’dan beri gelen bir hastalık değil mi? Ölümsüz olmakla ilgili düşünüldüğünde ‘meyveyi yemek’ teki ve ‘ölümsüz olmak’ taki yanlışlık, epistemik bir yanlışlıktı; ancak buna bakmadı ilk insan ve mantık, yürütmenin geçerliliğini kontrol etti(Yasama, yürütme ve yargı üçlüsünden, yürütme ve yargı arasındaki ilişki gibi; mantığın yaptığı sadece yargısal bir denetim). ‘Yasak Meyve’ yenir (p) ise ölümsüz olunacaktı (q). Formel olarak bu doğruydu. Ama öncül önerme’deki epistemik bilgi doğru değildi ve doğal olarak sonuç önermesi de doğru olmayacaktı. p ise q da önermelerin doğruluk değerleri sıfır (önermenin doğruluk değeri) bile olsa, yürütülen mantık doğruydu(0 ise 0 denktir 1). Onların ‘yasak meyve’yi yemelerindeki konsantrasyon sorunlarını bu formel mantık gidermişti.

Aynı içerik hatasını antik çağ mantıkçıları da yaptılar ve bilgi’nin bağıllıklarını, derinliğini, genişliğini ve uzunluğunu, yani dört ana ekseni ihmal ettiler. İlk insanın konsantrasyon sorunlarını farklı ve zıt yanlışlıklarla yeniden ikame ettiler. Doğal olarak tepki topladılar. Önermelerdeki bilgi sınanmadan sistematize edilen mantığın sonuçlarının doğru olup olmadığı bir çok insan için önemli değildi.

Evrensel duruşların ihtiyaç duyduğu en önemli mantıksal devinim, çağlara ve insanlara hitap eden mantık ürünlerinin mutlak doğruya ulaştırma gücü idi. Formel Mantık bu yüzden zamanla alay konusu oldu. Sembolik mantık benzer hataları tekrarlasa da, doğru ve yanlış önermelerden elde edilen bileşik önermelerin sonuçlarına bakmayı öğrendi. Bileşik önermedeki tüm durumlar için daima yanlış (0) sonuçlar çıkıyorsa, bileşik önerme bir çelişki idi ve içeriği ciddiye alınamazdı. Tam aksine bileşik önermedeki tüm durumlar için daima doğru(1) sonuçlar çıkıyorsa o zamanda bileşik önermeye totoloji dediler ve sonuçları önemsediler.

Her şeye rağmen ‘Yanlış ise yanlış, denktir doğru’ olduğu yerde duruyordu. Mantık iki yanlıştan bir doğru çıkarmayı başarıyordu, ancak insanları ikna etmekte yetersiz kalıyordu.; anlatamıyordu iki yanlıştan bir doğru çıkarmadığını; “Öncülü yanlış olanın çıkarımı da yanlış olur.”, diyorum, ve yaptığım bu akıl yürütmeye mantık, “doğrudur”, der”,diye bas bas bağırıyor ve kendisini anlatabilmek için matematiğe sarılıyordu sonra, ‘İki kere iki dörttür ise Dört bölü iki ikidir (p ise q; 1 ise 1, denktir 1; doğru ise doğru, denktir doğru)” Örneğindeki gibi, “İki kere iki dört değildir ise dört bölü iki de iki değildir. (p’nin değili ise q’nun değili; 0 ise 0, denktir 1”, örneğinde yapılan akıl yürütme geçerlidir ve doğrudur demeye devam ediyordu.

Formel ve sembolik mantıktaki birliği önermeler, bağlaçlar ve doğruluk değerleri üzerinden analiz edelim ve mümkünse bittikten sonra dersi yeniden okuyunuz. Yaşadığınız bazı kopmalar, boşluklar dolacak emin olunuz. Zaten yukarıdaki harfler kombinasyonu az sonra işleyeceğimiz ve matematik mantığını kavramakta kullanacağımız temel konular için üretildi; yani esas meselemiz aşağıda.

Önerme’nin tanımını vermiştik. Şimdi de ‘önerme’nin değili’ ni anlatalım. Basit önerme’nin hükmünün olumsuzu ile değiştirdiğimizde, önermenin değili’ni almış oluyoruz; “İki kere iki dörttür.” Matematik önermesinde; “İki kere iki dört değildir” şeklinde yaptığımız değişiklik, bize önerme’nin ‘değili’ ni kazandıracaktır. Doğal olarak; önermemizin 1 olan doğruluk değeri bu sefer 0 olacaktır. Hemen belirtmeliyim; bir önermenin değili,’nin değili kendisine eşittir. Bileşikönerme’nin değili basit önermenin değilinden biraz daha farklıdır. Bunun için bileşik önermeyi tanımlamamız gerekiyor.

Bileşik önerme, iki veya daha fazla önerme’nin ve, veya, ise, ancak ve ancak bağlaçları ile birleştirilmesi sonucu elde edilen yeni önermedir. İşin içine bağlaçlar girdiğinde, yüklemlerle birlikte bağlaçları da değillemek zorunda kalacağız. ‘Ve’nin değili ‘veya’, ‘veya’ nın değili ‘ve’. Basit bir örnekle konuyu indirgeyelim. “Türkiye’nin başkenti Ankara’dır ve İki kere iki dörttür.” Bileşik önermesinin değili, “Türkiye’nin başkenti Ankara değildir veya İki kere iki dört değildir.” önermesidir.

‘İse’ ve ‘ancak ve ancak’ bağlaçlarının değillerini doğrudan doğruya elde edemiyoruz. Yeni dönüşüm formüllerine ihtiyaç duyuyoruz. ‘p ise q’ bileşik önermesi, p veya q’nun değili’ önermesine denktir. ‘p ise q’ önermesi, ‘p veya q’nun değili’ önermesine denk olduğundan, ‘p veya q’nin değili’ bileşik önermesinin değili de,’ p’nin değili ve p’ önermesine denktir. Aynı dönüşüm zorunluluğu ‘p ancak ve ancak q’da da var. ‘p ancak ve ancak q’ önermesi, ‘(p ise q) ve (q ise p)’ önermesine denktir. Buradan ise veya dönüşümü yaparak, ‘p ancak ve ancak q’ önermesinin değilini bulabiliriz.

Sıkılmadınız değil mi? Umarım sıkılmamışsınızdır; bu derste yaptığımız her şey matematik derslerinde bir olguya nasıl bakmamız gerektiği konusunda zihnimize olgunlaşmış deneyimler kazandıracaktır; bundan emin olunuz. İki bin beş yüz yıllık bir süreci derli toplu bir şekilde analiz etmek kolay değil; zihni bununla meşgul etmek hiç kolay değil. Değil mi? Kolay-zor ile ilgili görelilik işçiliğimizi hatırlayın lütfen. Tembelleşmeyi kolay sanıyoruz, ama en zor şey tembelleşmek. Ancak henüz bütünleşik analizimizi tamamlamış değiliz, Adem ile Havva’nın ilkel ilk zamanlarındaki mantıksal çıkarımları ile antik çağ dönemi insanlarının mantıksal çıkarımları arasındaki ‘aynılığı’ az sonra fark ettikten sonra dersimizi bitireceğiz.

Önermeler, basit halde iken doğru veya yanlış bir hüküm bildiriyorlar, o kadar. Daha karmaşık anlamlar ifade edebilmeleri için onların bileşik önermelere dönüşmesi gerekiyor. Önermelerin doğruluk değerlerini de kullanarak birleşik önermelerle ilgili basit tablolar yapalım.

Bir önerme tek başına iken iki doğruluk değerine/durumuna sahiptir; ancak iki önerme bağlaçlarla birbirlerine bağlandıklarında, yani bileşik önermeye dönüştüklerinde dört farklı durum ortaya çıkmaktadır. Biz bu durumlara tabloda satırlar diyoruz; sütunlara da basit ve bileşik önermelerimizi yerleştireceğiz. Eğer 3 basit önerme varsa üçünün birbirlerine göre durumları 8’e çıkıyor; 4 ise 16’ya. Tablo’daki basit önerme sayısı, tablodaki satıların sayısını belirliyor. 2‘nin önerme sayısınca kendi kendisiyle çarpılması sonucu elde edilen bir sonuç bu.

2 önermelik basit bir tablo yapalım:

p q (p veya q) (p ve q) ( p ise q) (p ancak ve ancak q)

1 1        1              1            1                      1

1 0        1              0            0                      0

0 1        1              0            1                      0

0 0        0              0            1                      1

Tablomuzu yukarıdaki analizimizin bize verdiği güçle ve keyifle inceleyelim.

Tabloya baktığınızda 5 satır 6 sütün görüyorsunuz. İlk satır’da önermeler var, diğer satırlarda ise önermelerin birbirine göre durumları. İlk iki sütunda basit önermeler var ve p doğru iken q ne oluyor, q doğru iken p ne oluyor dikkat ediniz. İkisi aynı anda doğru veya yanlış olabildiği gibi, biri doğru iken diğeri yanlış olabiliyor; işte bu yüzden 2 önermede 4 durum/satır var.

2. satır’a(daha doğrusu 1.durum satırına) bakalım. p ve q önermeleri veya, ve, ise, ancak ve ancak bağlaçları ile bileşik önerme oluşturuyorlar. 1. ve 2.sütunlarda sadece p ile q önermelerinin doğruluk değerleri var.Burada önermenin içeriği yok, sadece doğruluk değerleri var. Belirsiz bir önerme doğru veya yanlış olabilir, kabulü baz alınmıştır. Gri yok anlayacağınız, duygusal ve mantıksal çatışmaların yoğun olarak yaşandığı evrendeyiz. Önerme ya doğrudur ya da yanlıştır; ikisi arasında başka bir durum yok; cenin yok. Çok sonra, 20. yüzyılda bunu değiştirecek insanoğlu; merak etmeyiniz.

3.sütun, p ile q önermelerini ‘veya’ bağlacı ile bileşik önerme yapıyor. 3. Sütuna dikkatle baktığınızda en alt satırdaki durum hariç tüm durumların 1’e denk olduğunu görüyorsunuz. 1veya 1, 1’e denk, 1veya0, 1’e denk, 0 veya 1, 1’e denk, ama 0 veya 0,’ 0’a denk. ‘veya ‘ bağlacı iki önerme doğru iken doğru veya iki önermeden biri doğru iken bileşik önerme doğru oluyor, fakat iki önerme yanlış ise bileşik önerme o zaman yanlış oluyor. ‘veya’ bağlacı biraz hoşgörülü anlayacağınız. İki önerme aynı anda yanlış değilse bileşik önermeyi bütün olarak doğru kabul ediyor. “Türkiye’nin başkenti Ankara’dır veya İki kere iki dört değildir” gibi.

4.sütun, p ile q önermelerini ‘ve’ bağlacı ile bileşik önerme yapıyor. 4. Sütuna dikkatle baktığınızda da ilk durum hariç, diğer durumların/satırların hepsinin 0’a denk olduğunu görürsünüz. 1ve 1, 1’e denk, 1ve 0, 0’a denk, 0 ve 1, 0’a denk, 0 ve 0,’ 0’a denk. ‘ve’ bağlacı iki önermenin ikisi de doğru değilse asla taviz vermiyor. Daha net görelim mi? “Türkiye’nin başkenti Ankara’dır ve iki kere iki dörttür.” Mantık bu akıl yürütmeyi yanlış buluyor.

5.sütun, p ile q önermelerini ‘ise’ bağlacı ile bileşik önerme yapıyor. Buradaki p, öncül önerme; q ise sonuç(çıkarım) önermesi. 5.sütuna dikkatle baktığınızda 2. Satır dışında tüm durumların 1’e denk olduğunu görürsünüz (buna tek yönlü gerektirme denir). 2. Satırda p öncül önermesi doğru (1) iken q sonuç önermesi yanlış(0)tır. ‘ise’ bağlacı bize der ki, “öncülün doğru ise çıkarımının yanlış olması senin akıl yürütmeni yanlış yapar.” 1. Satır 5. Sütunda 1 ise 1, 1’e denktir. Öncülü doğru olanın sonucu da doğru ise bu doğru bir akıl yürütmedir. 3.satır 5.sütunda ise öncülü yanlış olanın sonucu doğru ise akıl yürütmeyi doğru bulur, mantık; 0 ise 1, 1’e denktir.

İşte geldik Adem ile Havva’nın konsantrasyon sorununa; son satır 5 sütun; 0 ise 0, 1’e denktir. Mantık, yanlış öncülden yanlış sonuç çıkaran akıl yürütmeyi doğru bulur. Yasak meyve yenir ise ölümsüz olunur. Yasak meyveyi yemek yanlıştır, ölümsüz olmak da yanlıştır; ama akıl yürütme doğrudur. Fakat cennetten kovulan bu akıl yürütmeyi doğru kabul eden insandır. 20. Yüzyılda ve sonrasında tövbe edebilmek için matematiksel kesinliğe ulaşmak istemesinin, bir daha aynı yanılgı ile sonsuza dek bedel ödemek istememesinin öyküsü budur insanın. Yüklemler mantığı, açık önermeleri, denklemleri, gerektirmiştir bu arayışta. Evrenin kesin bilgisine ulaşmak ve yanlış akıl yürütmemek için bunu yapmak zorunda olduğunu biliyor insan. Önermelerin epistemik kökenini önemsiyor; ölümsüz olamayacağını biliyor.

6. sütun’un analizi ile dersimizi bitirelim mi, ne dersiniz?

6.sütun, p ile q önermelerini ‘ancak ve ancak’ bağlacı ile bileşik önerme yapıyor; yani ((p ise q) ve (q ise p)) çift yönlü analiz yapıyor. Doğal olarak geri dönüşte 3. Sütun da ise’nin mantığına uymadığı için yapılan akıl yürütme yanlış oluyor. Ama 1 ve 4. Satırlarda durum 1’e denk( yani çift gerektirme). Son satır yine bitiriyor insanoğlunu; 0 ancak ve ancak 0, 1’ denktir. Akıl yürütme geçerlidir; yine iki yanlıştan bir doğru elde ediliyor.

Hoşça kalınız.

(*) Yazı Ders 6

mustafa akdeniz

Devamı

Mantık; Siyah, Beyaz ve Gri

Merhaba,

İnsanların birbirlerini aşırı mantıklı veya aşırı duygusal gibi sınıflandırıcı ve dışlayıcı eleştirilerle suçladıklarını duyduğumda şaşırıyorum. Ve merak ediyorum; bu suçlamada eleştiri okları ‘aşırı’ ek sıfatına mı yapılmakta, yoksa mantıklı, duygusal sıfatlarına mı? Eğer eleştiriler ‘aşırı’ ek sıfatına yönelikse ve bu ‘aşırılık’ suç ise; insanlar ‘aşırı olmayan’ mantıklılığı veya duygusallığı eleştirerek birbirlerini suçlamıyorlar, demek gerekecektir. Yani; bir insan mantıklı iken, diğer bir insan duygusal olabilir ve bu durum eleştirilmez; bu durumdan suç üretilmez/üretilemez, öyle mi?

Gerçekten ilginç bir durum. Fakat büyük bir sorununuz daha çıkıyor ortaya; bir insan sadece ‘aşırı olmayan’ mantıkla veya sadece ‘aşırı olmayan ‘ duygusallıkla davranış formlarını düzenliyor olabilir mi? Önünüze ek bir sıkıntı daha çıkacak; ‘aşırı’lığın görelilik açılarına göre sınırlarını da belirleyemeyeceğinizi fark edeceksiniz.

Düşünelim ve bir soru daha soralım, belki asıl sorunu saptayabiliriz. Eleştirileriniz ‘aşırı’ ek sıfatından daha çok bu teknik ayrıma yöneltilmiş olmasın? Galiba biriniz mantıklı, diğeriniz duygusal olmaktan kaynaklanan etkilerle, ötekini ‘aşırı’ bulmaktasınız. Aksi halde sınırlarını belirleyemediğiniz ‘aşırı’lığı ‘günah keçisi’ olarak kullanmazdınız. Biz Zarîrâlılara göre sizin sorunuz bu: siz bir insanın sadece duygusal veya sadece mantıklı olabileceğini zannediyorsunuz. Bu zandan hareket ederek, doğrudan mantıklı veya duygusal olmakla suçlayamayacağınız ötekini ‘aşırı’lıkla suçluyor, sorunu daha da karmaşıklaştırıyorsunuz.

Size yardım etmek istediğimi söylersem, bana kızar mısınız? Biliyorum; sorunlarınıza müdahale edilmesinden hoşlanmıyorsunuz. Ayrıca; çözüm önerilerimizi kendimize saklamamız gerekiyor da olabilir. Fakat anlatmamda bir sakınca yok değil mi? Belki bir işe yarar söylediklerim. Sorunlardan aldığınız hazzı azaltacak da olsam, olası çözümlerden alabileceğiniz hazların olduğunu da gösterebilirim size. Ne dersiniz? Her durumda karar sizin zaten; kaybedecek neyiniz var ki?

Aslında insanlar tüm duygu ve düşüncelerini birbirinden ayrı/ayrık ve bağımsız sanarak hata yapıyorlar. Bu bir konumlama hatası ve bu hata giderildiğinde, ilgili eleştiriler ve bu eleştirilerden üreyen suçlamalar anlamsız kılacak. Bu türden sorunlarınız ortadan kalkınca birbirinizi kolaylıkla anlayabileceksiniz. Zaten en büyük sorununuz da birbirinizi anlayamamanız.

Duyguların her türü, siz farklı ad/tanım blokları oluştursanız da tastamam düşüncelerden ibarettir. Sade bir anlatımla; duygular aynı zamanda düşüncelerdir, diyebiliriz. Ya da duygular düşüncelerin alt kümeleridir. Bu alt kümeler, korku, ümit, öfke, kin, heyecan, kıskançlık, hırs, sevgi, sevinç, özlem, gibi kategorik benlik baskılarından aşırı bir şekilde etkilenen düşünceleri içeriyorlar.

Yeni açıklamamızı koyulaştıralım mı? Duygular, benlik baskılarından etkilenen düşüncelerdir, diyelim. Dinî terminolojiyi kullanarak şöyle de söyleyebiliriz; nefs, cin, şeytan ve diğer insanların veya canlıların, doğa olaylarının baskılarından/kışkırtmalarından (benlik baskıları) etkilenen düşüncelere duygu denir. Nasıl? Açıklayıcı oldu mu?

Benlik baskılarından bağımsız bir insandan söz edilemeyeceğine göre birlikte bir karara varabiliriz; benlik baskılarından aşırı etkilenen insanlara duygusal, az etkilenen insanlara da mantıklı, diyorsunuz. Şu halde duyguların, düşüncelerin alt kümeleri olduğunda hemfikir miyiz? Hemfikir isek; şu sonucu düşünce eylemlerimizin bayrak direğine asabiliriz: Düşünceler, asla mantıksız olamazlar ve düşüncelerin altkümeleri olan duyguların mantıksız olma olasılıkları sıfırdır.

O halde artık rahatlıkla ifade edebiliriz, ki; bir insan mantıklı, diğer insan duygusal olamaz. Aşırı mantıklı veya aşırı duygusal olmak da imkânsızdır. Bana katılıyor musunuz? Bana katılmanız birbirinizi eleştirmekten ve suçlamaktan vazgeçeceğiniz anlamına gelmiyor, kuşkusuz. Sorun üretip bu sorundan haz almak sizde bir alışkanlığa dönüşmüşse, düşüncelerin alt kümeleri olan duyguların benlik baskılarından aşırı bir şekilde etkilendiğini gördükten sonra, ötekini benlik baskılarına yenilmiş olmaktan dolayı suçlayacaksınız.

Ancak yine de bir avantaj elde etmiş durumdasınız; nedeni biliyorsunuz ve nedeni biliyor olmanız, karşınızdakini anlamanıza yardım edecektir. Bu durumda siyah, beyaz ayrımındaki çözümsüzlüklere karşı “elde gri var”, diyerek, katliam havasını dağıtmış olabiliriz, değil mi?

Mantıklı olmanın eleştirilebiliyor olması başlı başına tuhaf bir durum zaten ve bu tuhaflık, Dünya’ya özel bir karmaşa. İnsan doğası gereği mantıklıdır ve mantıklı olmaması gibi durumlarda ortaya çıkacak olan mantıksızlık durumuna insanlar, karşıt olarak ‘duygusallık’ demiyorlar; ‘delilik’, ‘geri zekâlılık’ gibi sıfatlar kullanıyorlar. Ne acıdır ki; delilik ve geri zekâlılık da yanlış kullanılan sıfatlardır. Mantıksız davrandığı düşünülen insanlara deli denmesi anlamsız, çünkü; deli mantıksız davranan değil, farklı mantık zincirleri kurup işletendir. Geri zekâlı denmesi de anlamsız, çünkü; zekâ’nın ileri veya geriliğinden bahsedilemez. Durum tam olarak gelişmemiş fiziksel bir problemden kaynaklanan bir durumdur.

İnsan doğuştan mantıklı ise neden mantık diye bir ders alanı oluşturulmuştur, diye düşünebilirsiniz. Her insan matematik eğitimi almadan sayı sayabilir, ama matematik eğitimi almadan ikinci dereceden denklemleri çözemez. Her insan mantık eğitimi almadan mantıklı düşünebilir, ancak her insan mantık eğitimi almadan sistemli akıl yürütmelerle sistematik genellemelere ulaşamaz.

Sistematik genellemelere ulaşmak ve bu genellemeleri hayatın her alanında kullanmak, başarı şansını arttıracaktır, işte biz bu yüzden matematik öğrenirken mantıkla başlamamız gerektiğini düşünüyoruz. Biraz uzun bir sohbet olacak bu; hazırsanız başlayalım. Hazır değilseniz, yukarıdaki sohbetle yetinebilirsiniz. Kalan dostlarla devam ediyoruz, değil mi?

Mantığın bilimsel yöntemlerin temel konusu olduğunu bilmiyor değilsiniz. Bilimsel yöntemler oluşturulmadan önce de felsefenin temel konusu mantıktı. Antik/Helenistik çağda, iç Akdeniz kıyılarında ve bu kıyıların arasındaki adacıklarda, köle olmayan, köle olmadıkları için de bolca tüketebilecekleri zamana ve enerjiye sahip olan insanlar, kendilerine özellik katan ve kendileriyle anılan alanlar olsun istediler. Mantık da bu alanlardan biriydi. Mantık’tan önce Matematik vardı; ancak matematik gelişmiş bir bilim dalı olmadığı için mantıkla doğrudan ilişkilendirilerek öğretilme gereği duyulmuyordu.

Mantık, bir oyun olarak doğdu ve mantık oyuncularının ürettiği paradokslarla insanların ilgilerini çekti. Her insan eşit fırsatlara sahip olamadığı için de bu oyunla ilgilenecek pozisyonda olamadı, paradokslarla ilgilenemedi. Çok sonraları bu paradokslara zaman ayırıp da çözüm bulduklarını iddia edenler, diğerlerinden daha zeki olarak öne çıkarıldılar. Aslında bu büyük bir haksızlıktı, zekânın bu işle hiç ilgisi yoktu. Paradoksal korkular insanları çok korkutmuşlardı. O kötü zamanlardan sonra bu yanılgı önyargılara dönüştü; sorgulanamayan bir gerçekmiş gibi insanların kültürlerine yerleşti. Ne ilginçtir ki; şu anda yeryüzünde yaşayan insanların çoğu bazen mantıktan anlamadıkları için kendilerini zeki olmamakla suçlayabiliyorlar. Oysa sadece ihtiyaçları olan iki şeye sahip değiller; yeterli zamana ve uygun öğrenme koşullarına.

Antik/Helenistik çağda oyun olarak doğan mantık, oyun olarak kalmadı elbette. İnsanlar özel durumlardan genel sonuçlara ulaşmayı sevdikleri için; daha doğrusu bilimsel en büyük kaygı olan genelleme kaygısından fazlaca etkilendikleri için önermeler ürettiler ve bu önermelerin doğruluğunu veya yanlışlığını kontrol etme gereği duydular. Şimdi okullarda iki parçaya ayrılan mantık önermeler mantığı ve sembolik mantık olarak matematiksel yöntemlerin altyapısını hazırlamak için öğretiliyor. Antik çağdan 19. Yüzyıla kadar önermelerden oluşan mantık, 19. Yüzyılla birlikte hızla sembolize edildi ve sembollerle genel sonuçlara ulaşmanın kolaylığı kullanıldı. Matematik büyük bir bilim dalı olarak gelişince de, Mantık, küçük ve dar oyun alanında kalakaldı.

Önermeler mantığı, sembolik mantıkla biraz daha geliştirilmişti, ancak; sembolik mantık da varlıksal bazı durumlar için yeterli olmasına rağmen evrensel tüm durumlar için yeterli değildi. Matematiksel genellemecilik mantığı zorladı ve yüklemler mantığı üretildi. Yani açık önermeler… Normal önermeler için iki durum vardı; ya doğru olacaklardı ya da yanlış. Oysa artık yüklemler mantığında, yani açık önermeler de değişkenler ve sabitler vardı ve önerme değişkenin alacağı değerlere göre doğru ve yanlış olabiliyordu. Böylece denklemler ve eşitsizliklerle ilgili temel ilişkilendirme sağlanmış olacak ve mantık tümüyle matematik biliminin ilk basamaklarından biri olarak kalıcı hâle gelecekti.

Şu anda Felsefe eğitim ve öğretiminde kullanılmaya devam eden mantık sadece önermeler mantığı ile sembolik mantık gibi ilkel mantık konularını içeriyor olduğu için felsefî üretim standartları gelişmedi. Belki de felsefe, bilimsel alanların çoğalması karşısında ne yapacağını bilemedi; klasik yaklaşımların tıkanmasından dolayı dondu kaldı. 20. Yüzyılda bulanık/gri mantık üretilse de bu mantık türü artık matematiğin güvenli kollarında ve matematikten aldığı güçle klasik mantığın boşluklarını dolduruyor.

21. Yüzyılda insanlar, felsefenin beş duyuluk araçları ile asla ilgilenmeye cesaret edemeyeceği kuantum fiziği ile ilgileniyor; topolojik uzayları ardı ardına harmanlıyor, eğri yüzeylerle ilgi somut ve karmaşık analizler yapabiliyor; evren ve varoluşla ilgili daha sağlam sorular sorup sağlam cevaplar bulabiliyorlar.

Bugün artık modern mantıktan bahsedilmiyor; sadece matematikten bahsediliyor ve matematik, mantığın hayal bile edemeyeceği ispat yöntemleri kullanıyor. İnsanların minnet duyguları, nostaljik hazları dolayısıyla mantık hâlen ilgi duyulan bir alan olarak değil de, Antik/Helenistik çağda olduğu gibi, ilgi duyanların zaman geçirebilecekleri tarihsel bir değer olarak anlam buluyor. Ancak; yine de mantığın insanların hayatından çıkacağını düşünmek çok zor. Bakın, matematiğe başlarken ona ihtiyaç duyabiliyoruz hâlâ. Her seferinde öğrenilmiş bilgiden bağımsız doğan insan değişmiyor, çünkü.

Önyargılarınıza dokunabildim mi biraz? Önermeler mantığını, sembolik ve bulanık/gri mantığı bir sonraki derste işleyelim. Olmaz mı? Matematiğin uzun ince bir yol olduğunu bu yolda yorulacağımızı biliyorsunuz; ancak bu yorgunluğun sizi yıldırmayacağını umuyorum. Tenceredekiler, kısık ateşte demlensin biraz.

Hoşçakalınız.

Not: Bir sonraki derse hazırlıklı gelmek istiyorsanız, bir önceki dersi (YazıDers 4)de okumanızı tavsiye ederim. Bir isteğim olacak yine; lütfen ilgileniyorsanız parmaklarınızı kaldırınız. Benim de motivasyon sorunlarım olabiliyor:)

(*)YazıDers 5

mustafa akdeniz

Devamı

İspat Yöntemleri ve Yükseltgen Hisler

Merhaba,

İnanmak ve ikna olmak arasında ne gibi bir fark var? Endişelenmeyin hemen; felsefî bir paradoks/kısırdöngü arayışında değilim. Zaten, bu iki düşünsel eylem ya da karar aralığında herhangi bir paradoks/kısırdöngü yok. Yerinde bir kısıtlama yaptım, hoş görürseniz. İnanmak ve ikna olmak, düşünsel eylemlerdir. Bir diğer kısıtlamama göre, bir bütünün ayrılmaz iki karar aralığıdırlar. Biri diğerinin ardılıdır. İkna olmadan inanamazsınız. İkna olduktan sonra da tek seçeneğe sahipsiniz; inanmak. Söz dizisini anlamı kalınlaştırmak için değiştireyim; İnanmışsanız, ikna olmuşsunuz, ikna olmuşsanız inanmak zorundasınız.

Çok karışık bir mesele değildir bu. Biz Zarîralılar için gerçekten değil, içtenlikle söylemeliyim ki; sizin için de değil. Aramızdaki tek fark, bu matematiksel bütünlüğü bozmak için bizim bir neden aramayışımız.

Siz, ayrışmak, farklılaşmak ve yukarıda/özel görünmek için, daha açık bir deyişle kibrinizin etkisinde kalıp meydan okumak için, inanmak eylemini ikna olmadan teslim olmak olarak sınıflandırıyor; sınıflandırdığınız teslimiyetçileri de ilkel/geri kafalı diye nitelendirerek kriterlerini belirlediğiniz toplumsal yapının dışına itiyorsunuz. Kendinize de ikna olmak aralığını layık görüyor; gelişmekte olan bilgilerinizin içeriğine bağlı olarak kanıtlanmış önermeleri, kesin bilgi cetvellerinde görmekten mutlu oluyorsunuz.

Atom’un parçalanamaz olduğunu iddia etmiştiniz ve bunu kanıtlamıştınız da; fakat atom bombası yaptığınızda yanıldığınızı anladınız. Bu ciddi yanılgıdan ders aldınız; şu anda parçacıklar teorisini kanıtlamaya çalışırken, kuşku içindesiniz. Bin yıl önce maddenin sonsuzca kez bölünebileceğini iddia edenleriniz vardı, kanıtlayamadıkları için söyledikleri ciddiye alınmamıştı. Belki de ciddiye almamanızın temel nedenlerinden biri de sonsuz parçalanma sonucunda karşınıza çıkan yokluğun, varoluşun temeli olduğunu kanıtlayacağını düşünerek korktunuz.

Korku’nun ikna olmak eylemi ile hiçbir ilgisi yok. Bugün yokluktan madde üretmeye çalışan bilim adamlarınız korkularını bu işe bulaştırmamaları gerektiğini anladılar. Korku’nuz insan entegre tesislerinizin yüceliğiniz için hizmet edemeyecek duruma gelmesi olasılığından kaynaklanıyordu. Biliyorsunuz, her şeyin kendiliğinden olması, bir şeyin yoktan var olamayacağı gibi iddialarınız maddenin evrilmesinde kendiliğindenlikten sonra siz güçlülere değiştirme hakkı veriyordu. Sanat ve bilim sizin zekânızla ürettiğiniz ‘yaratı’lara sahipti. Teslimiyetçileri, ikna olmadan inanmış olanları kendinizden daha zeki olarak sınıflandıramazdınız.

Mutlu azınlıklar olarak, ilkel teslimiyetçileri yüceleştirdiğiniz teoremlerin hizmetkârları olarak kullanıyorsunuz. Hizmetkârlarınız da sizi, çıkarcı zâlimler olarak sınıflandırıp, sizin sağladığınız ayrık zeminlerde, sizin sağladığınız hizmet sınıfında yaşamaya devam ediyorlar. Formel okullarınızın, sizin istediğiniz birey tipine uygun üretim yapamamasının nedeni başka bir şey olabilir mi? Kurgularınızın hiçbiri sonsuza kadar işleyebilir sistemler üretemiyor. Asıl endişelenmeniz gereken paradoks bu. İkna olduğunuz zaman inanıyor görünüyor, ancak inanmak sizi kısıtladığı için şüphelerinizden kurtulamıyorsunuz. Genlerinizdeki doğallığa uygun bütünleşik eylemleri ayırmak sizin ruhsal dengenizi bozuyor.

Siz de biz Zâriralılar gibi mükemmel sonuçlar elde edemiyorsunuz. Yine aramızdaki farklardan birini de burada fosforlu kırmızı kalemle zihninize yazmalıyım; siz ikna olmak temelinde mükemmellik arıyorsunuz. Bu imkânsız. Mükemmellik/eksizlik yaratılış formunuza aykırıdır; eğer öyle olmasaydı, hiçbir bilimsel ilerleme sağlamanız mümkün olmazdı. İlk insanlar mükemmeli/eksiksizi üretmiş olacaklarından sizin düşünmenize, önerme üretmenize ve bu önermeleri kanıtlamanıza gerek kalmazdı.

Siz’i, dünyalılar olarak adlandırdığım için içinizdeki temel ayrıklığı ‘siz’ yerleşkesine monte etmiş olmama kızmayınız; dünyalılar olarak bir bütünsünüz. İkna olmuş olarak inananlarınızda bile, pragmaların baskın güdülenmesi var. Anlamsız gruplaşmalarla hareket nedenlerinizi başkalarına dayatmaktan vazgeçmiyorsunuz. Düşünün; binlerce yıllık dağınıklığınızı azaltmayı başardığınız yirminci yüzyılda, sizden birkaç kuşak önceki atalarınızın hayal bile edemeyeceği ilerlemeler kaydettiniz. Fakat yine de öldürmekten vazgeçmiyorsunuz.

İkna olmak ve inanmak düşünsel eylemlerdir, demiştim. Aynı zamanda ardıl karar aralığıdırlar. Neden? İkna olmak bir süreçtir; elde edilen kanıtların yaydığı paraziti az, hatta sıfır parazitli onama mesajlarının adım adım izlendiği ve her adımının önceki aksiyomlar ve teoremler tarafından sıkıca denetlendiği bir aralıktır, bu aralık sonucunda zihninizde oluşan düşünsel eylemdir. Bu süreç/aralık/düşünsel eylem sona erdikten sonra ikinci adımda inanmak süreci/aralığı/düşünsel eylemi başlar ve siz yaşadığınız sürece konu kapanır. Sizi hemen şimdi uyarmalıyım; konunun sizin için kapanmış olması, sizden başkaları için de kapanmış olduğu anlamına gelmemektedir. İkna odalarınız farklı zamanlarda veya mekânlarda olabilir; teorileriniz çakışmayabilir. Hayatın konumlandığı temel böyle bir şey işte; sürprizlere açık.

Kuşkuların sona erdiği aralık; ikna olmak aralığıdır. Ne kadar inanmayı reddetseniz de kanıtlanmış teoremleri reddedemediğinize göre, kabullenmek zorundasınız ve bu andan sonra kaçamayacağınız tek eylem vardır; nefret ettiğiniz inanmak. İlkel teslimiyetçiler gibi inanmak zorunda olmak sizi rahatsız etse de yapabileceğiniz hiçbir şey yok. İkna olmak; aynı zamanda inanmak demektir. Korkularınızı yenin, matematikçilerin dingin görünmelerindeki sır burada işte. Buldukları çözümlerin, ürettikleri teorilerin kanıtlanmasında maksimum fayda sağladığını gördüklerinde inanmaktan korkmuyorlar. Ellerine silah alıp öldürmüyorlar da. İyi düşünün.

Böyle yazarken bazen endişeleniyorum, sizi suçladığımı düşünmenizi istemediğim halde, böyle bir şeye neden olursam kendimi affedemem. Ancak kabul etmelisiniz ki; içtenlik biz Zâriralıların en büyük kusuru. Önermelerinizi nasıl ispat ettiğinizi, hangi teknikleri ürettiğinizi size anlatabilmem için ikna odalarını tanımanız gerekiyordu. Bunlar sizin ürettiğiniz değerler ve bu değerler sizin algılarınızı yükseltgen hislerle okşuyorlar.

Önermelerinizi nasıl ispat ettiğinizi irdeleyelim mi? Çok gecikmedik, acele etmeyin. Daha fazlası da var, ancak beş temel ispat yönteminden bahsedilir. Doğrudan ispat, olmayana ergi yöntemi, ters durum/ dolaylı yol/kontrapozitif ispat yöntemi, tümdengelim/dedüksiyon yöntemi veya konstrüktif ispat yöntemi ve tümevarım/endüksiyon yöntemi.

Adlarını akılda tutmak bile kolay değil. Kolay ya da zor göreli bir şey biliyorsunuz. İsterseniz elimizdeki sorundan bir önerme üretelim. “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak zordur.” Bu bir önerme oldu mu? Soruya evet veya hayır diye cevap verebileceğiniz gibi, doğru veya yanlış diye de cevap verebilirsiniz. Ama emin olun, evet veya hayır dediğinizde algılarınızda parazit oluşacak ve matematiğin melodik akışının incindiğini hissedeceksiniz. Doğru veya yanlış dediğinizde de derin bir akustik huzur doluşacak içinize. İşte o zaman anlayacaksınız ki, bu bir önermedir.

Bu önermemizi ilk yöntemimizle ispat edelim mi? Yani doğrudan ispat yöntemiyle? Ama ben biraz gri tatlar kullanacağım. “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak zordur.” Önermesinin yanlış veya doğru olduğuna karar vermemiz gerekir önce, ki; neyi ispat etmemiz gerektiğini bilelim. Önermenin hükmünü ‘zor’ veya ‘kolay’ seçme özgürlüğümüz var. İsterseniz ‘zordur’ hükmünün doğruluğunu doğrudan ispat yöntemiyle ispatlamaya çalışalım.

Gri tat demiştim, işte o tat; zor nedir, kime göre zor, hangi zamana ve zemine göre zor? Zor hakkında gri noktalar oluşturdum mu zihninizde? Bir yaşındaki bir çocuk için bir kilogramlık ağırlığı kaldırmak biraz zor olabilir, ama beş yaşındaki bir çocuk için aynı ‘biraz zor’ sıfatını kullanamayız. Yüz yıl önceki bazı zorlukların bugün zorluk sayılmaması gibi örneklerle zor üzerindeki kuşkularınızı güçlendirebiliriz. Görelilik, itirazları tıkayan bir şey.

Doğrudan ispat yöntemini kullandım mı şimdi ben? Zannedersem kullandım ve önermemizdeki ‘zor’ hükmünü zayıflattım. Henüz o hükmü tamamen yanlışlamış değilim; doğal olarak yanlışlamayı size bırakıyorum. Eğer birinci ispat yönteminin adı aklınızda kaldıysa, “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak zordur.” Önermesinin yanlış olduğunu siz söyleyeceksiniz.

Sahiden merak ettim, kaldı mı? Önermemiz yanlış mı?

Cevabınızı duyamadığım için zorunlu olarak ikinci ispat yöntemine geçiyorum; olmayana ergi yöntemine. Ne kadar karışık bir ad! Olmayana ergi. Olmayana özgü gibi bir şey. Veya yaptım olmadı’dan ilham alalım. Evet, evet tam olarak bu; yaptım olmadı.

Aslında doğrudan ispat yönteminde size oyun oynadım. Olmayana ergi yöntemini anlamanız için doğrudan ispat üzerinde biraz tahrifat yaptım. Önermemizi hatırlayalım mı? “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak zordur.” Eğer doğrudan ispat yönteminde önermemizi “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” Diyerek seçseydim ve kolay olduğunu gösterseydim, doğrudan ispatı sorunsuz olarak halledecektik. Fakat ben ne yaptım, hükmü ‘zor’ olarak seçtim ve zor’u zayıf düşürdüm, siz zor olmadığını düşündünüz.

Bana kızmayın; olmayana ergi yöntemiyle anlamanız içindi her şey… Olmayana ergi yöntemiyle “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” önermesini ispatlamak için küçük bir değişiklik yapmamız gerekiyor, hükmün, yani ‘kolay’ın zıddını, yani ‘zor’u alırsak ve önermeyi bu ‘zor’ hükmüne uygun olarak ispat etmeye kalkarda ispat edemezsek, yani “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak zordur.” Önermesini kanıtlayamazsak, o zaman mecburen diyeceğiz ki; “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” Olmayanı kanıtlayınca olanı da kabullenmiş oluyoruz.

Nasıl? Fena bir fikir değil, bence.

Doğrudan ispat, olmayana ergi yöntemiyle ispattan sonraki üçüncü ispat yöntemimiz ters durum/ dolaylı yol/kontrapozitif ispat yöntemi. Tuhaf bir dizin değil mi? Bunu da dolaylı yoldan ispat yöntemi olarak kısaltalım mı? Önermemiz hazır: “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” Bu önermeyi dolaylı yoldan ispat yöntemini kullanarak nasıl ispatlarız?

Konu matematiksel ispat yöntemlerinin adını akılda tutmak olduğuna göre zorluğu düşünmek doğal. “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” önermesinin yanlış olduğunu kabul edelim. Sonra işin rengini değiştirelim. Diyelim ki konu matematiksel ispat yöntemlerinin adını akılda tutmak olmasın, tutmamak olsun, o zaman hüküm de değişecek mi, ‘zor’ olacak mı? Bunların yerini de değiştireceğiz. Önerme değişecek: “Zor, Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmamaktır.” Hadi şimdi bunu doğrudan ispat yöntemiyle ispatlayalım. Geçmiş deneyimlerinize bakarak bu önermenin yanlış olduğunu herhalde hiçbiriniz itiraz etmeden kabul edeceksiniz. Son durumda elde ettiğimiz önerme yanlışsa, baştaki “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” önermesine yanlış dememiz de yanlış olacaktır. Ve biz bu yanlışlığı reddedeceğiz. Ve diyeceğiz ki:“Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.”İşte şimdi biz dolaylı yoldan “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” Önermesini ispatlamış olduk.

Olduk mu? Sizde ikna oldunuz mu?

Bu arada merak ettim: kaç tane ispat yöntemini aklınızda tutabildiniz? Kafanızı karıştırdıysam, emin olun bunu bilerek yaptım. Vazgeçecekseniz geçin. Vazgeçmediyseniz ilk üç yöntemi dilediğiniz kadar okuyun, ne kadar basit olduğunu göreceksiniz.

Dördüncü yöntemimiz, tümdengelim/dedüksiyon yöntemi veya konstrüktif ispat yöntemi… Adları nedense hep ürkütücü, ama bence siz dedüksiyonun tümdengelim yöntemi olduğunu aklınızda tutmak istiyorsanız, ‘dediğim dedik’ kazaklığını işin içine katın. Nasılsa tüm kazakların işi zordur; sonradan söylediklerini kanıtlamak zorundalar. Tümdengelim yöntemi ile sonraki tümevarım/endüksiyon yöntemi zıtkardeşlerdir. Dedüksiyon, önce der, hükmü ilan eder, sonra ispatlamaya kalkar, tümevarım ise kibardır; tek tek, adım adım ispat eder ve sonra sizi ikna ettiğine inandığı anda önermeyi kanıtlar.

İspat yöntemlerinin adını yazdığımda “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” deseydim ve sonra tek tek bu adların kolaylıkla aklınızda kaldığını gösterseydim, belki de işim daha kolay olacaktı. Ama bence, ben şu anda tam olarak bunu yapıyorum. ‘Kolaydır’ hükmünü dediğim dedik bir kararlılıkla size dayattım ve şimdi de adım adım bunu size ispat etmeye çalışıyorum. İşte tümdengelim yöntemi de bu.

Son olarak tümevarım/endüksiyon yöntemine geldik. Aslında şimdiye kadar yaptıklarım bir anlamda bu yöntemin basamaklarını her adımda sizi ikna ederek ilerleyerek ispat sürecini tamamlamaktan başka bir şey değildi. İlk dört yöntemi tümevarmak için kullandım ve şimdi size soruyorum; ikna oldunuz mu? “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” önermesine doğru diyebiliyor musunuz?

Gelin şimdi her adımı yeniden, daha matematiksel seslerle irdeleyelim:

Doğrudan ispat, en temel ve en basit ispat şeklidir. Doğru olduğu gösterilmek istenen ifade, direk olarak, doğruluğu kanıtlanmış başka ifadelerle veya aksiyomlarla üretilir. Mesela; “Tüm insanlar ölümlüdür”, “Mustafa bir insandır.”, “O halde Mustafa bir ölümlüdür.” Ya da daha sıcak bir örnek 2+2=4 ‘tür. İki tane ikiyi topladığınızda dört ettiğini doğrudan ispat etmiş olursunuz.

Olmayana ergi yöntemiyle ispatta doğruluğunu göstermeyi planladığınız ifadenin yanlış olduğunu kabul ederek işe başlıyorsunuz. Yanlışlığı ispatlama yolunda bir çelişkiye varıyorsunuz. Sonuç olarak başta yanlış olduğunu kabul ettiğiniz ifadenin aslında doğru bir ifade olduğunu ispatlamış oluyorsunuz.

Şöyle bir önerme/hipotez seçelim: ”Kendi kendisiyle toplandığında kendisini veren sayı sıfırdır.” Olmayana ergi yöntemiyle ispatına bakalım şimdi: Bir x sayısını ele alalım. Önermede bizden x+x=x ise x=0 olduğunu göstermemiz isteniyor. Bu teknik ile ispatı göstermeye çalışalım. Hükmü (veya bazı durumlarda hükmün bir parçasını) olumsuz olarak alalım. Yani kabul edelim ki, x sıfırdan farklı bir sayı olsun. Bu durumda x+x ifadesine bakalım. Önermede bize x+x in x olduğu verilmişti. Yani x+x=x denilmişti. Ayrıca biz biliyoruz ki x+x=2x tir. Öyleyse bu eşitlikleri birleştirerek; x = 2x elde ederiz. x i sıfırdan farklı kabul ettiğimizden dolayı taraf tarafa x leri sadeleştirirsek (x in sıfırdan farklı olduğunu kabul etmeseydik bu sadeleştirmeyi yapamazdık). 1 = 2 sonucu elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. Bu çelişki x i sıfırdan farklı almamızdan kaynaklanmaktadır. Öyleyse x=0 olmalıdır. Sonuç olarak x=0 olması gerektiğinden ispat tamamlanmış oldu. Bu önermeden de görüldüğü gibi hükmü olumsuz kabul ederek bize verilen hipotezi kullanıp bir çelişkiye vardık. Bu çelişkinin sebebi de hükmü olumsuz kabul etmemizdir.(Bu örneği alıntıladım)

Ters durum/ dolaylı yol/kontrapozitif ispat yönteminde P ise Q ifadesi, değil Q ise değil P ifadesine denktir. Bu ispat tekniğine teoremin bildirdiği sonucun, tersini doğru kabul ederek başlıyoruz. Sonunda ise hipotezin yanlış olduğu ifadesine ulaşıyoruz.

Tümdengelim/dedüksiyon yöntemi veya konstrüktif ispat yöntemi, özellikle varoluş teoremlerinin ispatlanmasında kullanılır. Örneğin "Her rasyonel sayı çiftinin arasında bir rasyonel sayı vardır" önermesini ispatlarken iki rasyonel sayı alınır ve aralarında bulunduğu bahsedilen sayı, bu sayılar üzerinden inşâ edilir. Böylelikle gerçekten bir rasyonel sayının var olduğu ispatlanır.

Son olarak matematiğin en sevgili yöntemi tümevarım. Harika sesleri olağanüstü melodilerle bütünleştirip sizi mest eder. Verilen bir ifadenin tüm doğal sayılar için doğru olduğunu ispatlamakta kullanılan oldukça pratik bir yöntemdir. Bu yönteme ifadenin önce 1 için (daha doğrusu, ifadenin doğruluğunun başladığı doğal sayı için) doğru olduğu gösterilir. Daha sonra n doğal sayısı için doğru olduğu farz edilir ve n+1 doğal sayısı için doğru olduğu gösterilir. Bu da herhangi bir doğal sayı için doğruysa sonraki için de doğru olacağını ispatladığından bütün doğal sayılar için geçerli bir ifade olduğu anlamına gelecektir.(Bunu da...)

Bu yöntem genelde sonsuz sayıda domino taşlarının dizilmesine benzetilir. n. taşın devrilmesi bir sonraki yani n+1. taşın da devrilmesi anlamına geleceğinden taşların tamamı devrilecektir. Tabi ki yine n=1 için doğruluğunu söylemek lazım. Bunun için de ilk taşı devirmeniz yeterli olacaktır. Sizi ikna etmek için kullandığım yöntem gibi mesela.

“Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” Değil mi?

Hoşlandınız mı? İkna olmak ve inanmak bütünleşik miymiş? Matematik öğreneceğinize inandınız mı? Sizi ikna edebildim mi? Yoksa korkuyor musunuz?

Unutmadan teoremin üretilme aşamalarını anlatmalıyım. Bir probleminiz olur, verilerinizi masaya koyarsınız, probleme dayalı hipotez/teori/önerme kurmaya çalışırsınız, deney/ispat aşamalarından sonra önermenizi kabul veya ret edersiniz, işiniz biter. Bilimsel bir ispat yapmış olarak kendinize sevdiğiniz bir içeceği ısmarlayabilirsiniz.

Hoşça Kalınız.

(*)YazıDers 4

mustafa akdeniz

Devamı

Yazı Ders III: Matematiksel Terimler ve Kırmızı Tavşan

Merhaba,

Matematiğin dili, kendine hâs bir dildir, biliyorsunuz. Bu dil, karşılaşıldığında, diğer diller gibi bilmeyeni aşırı zihinsel hareketliliğe sürükler, sıkar, rahatsız eder; bilinçaltına kıymık uzatır. Eğitimle ilgili görsel materyallerde kullanılan simgeleri gördüğünüzde de bilişsel düzenekleriniz üzerinde belirgin bir tedirginlik oluştuğunu hatırlayacaksınız. 

Anlattıklarımı okurken aynı tedirginliğin sizi tekrar rahatsız ediyor olabileceğini düşünüyorum, umarım öyle değildir. Bu tedirginliğiniz simgelerden değil, simgelerle anlatılanları anlamama kaygısından kaynaklanmaktadır. Simgelerin temsil ettikleri anlamlarla ilgili deneyimleriniz yeterli olsaydı, böyle bir sıkıntınız olmayacaktı.

Size, matematiği öğrenmemeniz için gerekli olan tüm koşullanmalarla kuşatıldığınızı, tasarlanmış, planlanmış, uygun kontrol aralıkları ve noktaları ile bilişsel farkındalığınıza ket vurulduğunu söylersem, inanır mısınız? Sizi bilerek matematikten uzakta tutmuş olduklarını sanırım siz de fark etmişsinizdir.

Terimlerimize ve kırmızı tavşana geçmeden önce bu konu üzerinde biraz düşünmeye ihtiyacımız var. Başlayalım mı? Yoksa kaçıp gidecek misiniz?

Hemen hemen hepiniz denk özelliklerle yaratılmanıza rağmen, neden bazılarınız, %1-5 ‘iniz matematikten başarılı olabiliyorlar, hiç düşündünüz mü? Ben izledim, siz dünyalılar planlarınızı, daha büyük planların gerçekleşebilmesi için birbirinizden gizliyorsunuz.

Matematik sistematik düşünmeyi öğreten temel bilgi alanıdır. Siz dünyalılar, bunu biz zarîralılardan çok daha iyi bildiğiniz halde, diğer insanları dilediğiniz şekilde yönetmek istediğinizde, onların sorgulama gücünü ellerinden alıyorsunuz; sistematik düşünce üretim gücü kazandıran matematikten mahrum bırakıyorsunuz. Aynı zamanda matematikten mahrum bıraktığınız insanların sadece ve sadece kendilerini suçlamalarını sağlayarak da kendinizden hiçbir iz bırakmıyorsunuz. 

Hedefinizdeki insanların kendilerinde matematiksel zekâ bulunmadığını düşünmelerini sağlıyorsunuz. Sizi, tasarladığınız şeyi başardığınız için kutlamak gerekiyor. Kendilerini yaratan Allah’ı bile sorgulamakta tereddüt etmeyen insanlar, kendi zekâlarının yetersizliğinden kuşkulanarak sizi sorgulamayı akıllarından bile geçirmiyorlar.

Bilmelisiniz, zekânız hiçbir ayrıma tabi tutulamaz. Çünkü o parçalanamaz özelliklere sahiptir. Normal standartlarda yaratılmış olan her insan matematik öğrenebilecek bir şekilde donatılmıştır; diğer insanların ürettiği her bir bilgiyi alıp kullanabilecek yeterliliktedir. Aksini düşünüyorsanız, kusursuz bir şekilde aldatılmış olduğunuzu hatırlatmak zorunda kalacağım.

Matematik öğreticisi olmakla görevlendirilen insanların, işlerini iyi yaptıklarını söyleyemezsiniz. Onlara olan kızgınlığınızı denetlemenizi istiyorum sizden. İşlerini iyi yapmaları tasarlanmamıştı; yetersiz olmaları istenmişti ve onlar kendilerinden isteneni yaptılar, mutlu bir şekilde de yaşıyorlar. Sadece Türkiye’de değil, Fransa’ da, Almanya’da, İngiltere’de ve medeniyetinizin ve teknolojinizin ana üretim üssü olan Amerika Birleşik Devletleri’nde de çocuklar matematikten nefret ederek büyüyorlar. Çünkü; istenen bu. 

Eğitsel materyallerinizin ve araçlarınızın üç boyutlu görüntülerle desteklendiği yeni milenyumda matematikten korkuyor olmanızı açıklayamazsınız, açıklayamadığınız gibi bu gerçekle yüzleşmekten de kaçamazsınız. Korkularınızın çocuklarınıza devredilmesine izin veremezsiniz, vermemelisiniz.

Sizin, nefret edip etmediğinize bakmadan, başarısız bir geçmiş zincirine sahip olup olmadığınızı düşünmeden, hepinizin matematik öğreneceğini iddia ediyorum.

Kaşığınızı, ağzım diye kulağınıza götürmeyecek derecede akıllı iseniz hiç mesele yok; bu bize yeter. Yaşınız ya da cinsiyetinizin de önemi yok; bu bir özgüven testi. Keyif skalasının mutlak değerce büyüklüğü sizin kararlılığınıza bağlı, matematiğin zorluğuna ya da kolaylığına değil. Üstelik matematiğin zorluk gibi bir size ait sıfata ihtiyacı da yok.

Şimdi matematiksel terimlere bakalım mı?

Matematiğin dili, terimlerden ve simgelerden oluşur. Siz dünyalıların konuştuğunuz dillerin farklılığına bakmadan ortak bir matematik dili üretmeniz ne kadar güzel, bir bilseniz.

Mesela, x+5=9 ; x=? ifadesi yerküredeki matematik öğrenmiş her insan tarafından aynı şekilde anlaşılır, problem aynı şekilde çözülür ve sonuçlar aynıdır. Türkçe ‘de ‘Hangi sayının beş fazlası dokuzdur?” cümlesini tercüme etmeden hiçbir dilde anlayamazsınız. Oysa denklemimizin tercümeye ihtiyacı yoktur. Burada dikkatiniz için kırmızı ışık yakmalıyım; matematiğin ortak dilini bilmezseniz, problemlerinizi simgelerle kontrol masasına taşıyamazsanız, koyun saymak dışında hiçbir şekilde matematikle ilgilenemezsiniz.

Nedir bu ortak dilin terimleri ve simgeleri?

Zarîra’da üzerinde uzlaştığımız simgelerle konuştuğumuz bir dil var. Matematiğe ek olarak biz simgelere mimiklerimizi ekledik. Size de öneriyorum; gürültü kirliliği olmuyor ve yanlış anlaşılma olasılığı yok. Kaygılanmayınız, matematiğin mimikleri de var; siz onlara terim diyorsunuz. Tıbbî terimler gibi ya da pc terimleri gibi terimler bunlar. Varoluş amaçları belli; anlam kirliliği oluşmasına engel olmak ve doğru anlaşılmak.

Matematik tanımlı ve tanımsız terimlere sahiptir. Tanımlı terimlerin bir sıkıntısı yok, kendileri diğer terimler kullanılarak açıklanırken sıkıntı çekilmiyor, her seferinde herkes o terimden aynı şeyi anlıyor; Yani kırmızı tavşan iyi açıklanmış ve herkes gördüğü yerde kırmızı tavşanı kuşkusuz bir şekilde tanıyor. Oysa tanımsız terimler öyle değil; ne yapılırsa yapılsın uzlaşı noktalarında maksimum düzeye ulaşılamıyor, tanımsız terimlerde. Robot resim berbat.

Uzun kulaklı, dört ayaklı kırmızı renkli bir hayvan anlatılırken, kabul edersiniz ki, herkesin aklına kırmızı tavşan gelmeyebilir, uzun kulaklı olanlar sadece onlar değil çünkü. Yine de, kırmızı tavşanın tanımlanmasında maksimum düzeye çıkılabilir ve kırmızı tavşan tanımlı bir terim olarak literatüre geçebilir. Ama nokta öyle değil; doğru, düzlem ve küme gibi… Bunlar tanımsız terimlerdir ve bu gibi terimleri bağımsız olarak kullanacağımız gibi, tanımlı terimleri açıklarken de onları öreceğimiz duvarlarda birer tuğla, harç olarak işleyeceğiz.

Olaylı anlatımların yararlarını sizden öğrendim ve bunu sizin için kullanıyorum. Matematik kavramlarını üretirken tanımlar yapar, her bir kavram yani terim anlam kirliliği oluşmaması ve doğru anlaşılmak adına iyi tanımlanmaya çalışılır. Terim’in kullanım alanı belirlenir ve bağışıklık sistemi her bir terimi tanır. Matematiğin ilgili terimlerini kendi konularını öğrenirken ele alacağız. Şimdi aksiyom, teorem zamanı. Ama önce önerme.

Önerme olmadan, aksiyomdan ve teoremden bahsedemeyiz.

Önerme, önermekten ileri geliyor gibi görünüyor ama ilgisi yok. Türkçede kavram oluşum problemlerinden biri ile baş başa bırakmayacağım sizi. Fransızca da proposition deniyor ve ifade ettiği anlam ise şu. Doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Evet, gerçekten iyi bir tanım, matematiğin tanımlı terimlerinden biri de bu zaten.

Ne gibi mesela? 

Önce cümle kuralım. ‘İki iki ile çarpıldığında sonuç beş eder.’ Beğenmediniz mi? Yanlış mı dediniz? Sık kullandığınız için bu önermeyi kullandım. Hemen soğutmadan söylemeliyim, siz ‘yanlış’ dediğiniz için bu ifade bir önermedir. Anlamı kolaylaştırayım: Yanlış diyebildiğiniz için.

‘Türkiye güzel bir ülkedir’ cümlesi bir önerme midir peki? Doğru veya yanlış diyebiliyor musunuz? Hemen ilerleyelim, sonraki durakta gözümüze çarpan tabela da yazan ‘Kırmızı Tavşan arıyor musunuz?’ cümlesine bakalım. Peki, bu cümle önerme midir? Veya havaya bakıp ‘Bugün hava güzel.’ dediğinizde kurduğunuz cümle? Son üç cümlemize doğru veya yanlış diyebildiniz mi? İlki kanaat bildiren bir cümle ve öznel bakış açılarına göre değişebilirlik riski yüksek; ikincisi soru cümlesi ve siz bu cümleye evet veya hayır ile cevap verebilirsiniz, doğru veya yanlış ile değil. Son cümlemiz ise haber cümlesi, gün ve yer belli değil, güzellik ise göreli; yani değişebilirlik riski iki kere yüksek.

Doğru bir önerme bulalım mı? Unutmayınız, önerme ancak doğru veya yanlış olabilir. Doğru ise doğru önerme, yanlış ise yanlış önerme… ‘Yedi’nin iki eksiği beş eder’ yani 7-2=5, ne dersiniz? Önermeyi şimdi bırakalım, sonra önermeler mantığında yeniden alacağız bıraktığımız yerden.

Aksiyoma geldik. Aksiyom ile teorem arasında ilginç bir ilişki var. Teoremlerin doğurganları aksiyomlardır desem sizin için anlamlı bir şey demiş olur muyum?

Aksiyomların sayısı tanımsız terimler gibi, çok az. Ama tanımsız terimleri tanımlı terimlerin varoluşunda kullandığımız gibi aksiyomları da teoremlerin varoluş aşamalarında kullanmak zorundayız. Burada itiraf etmem gereken bir şey var. Matematik tamamen varsayımlar üzerine kurulu. Çünkü aksiyomlar doğruluğu varsayılan önermelerdir. Teoremler de aksiyomlar üzerine kurulu olduğundan, aslında matematikten bahsederken uçan halı üzerinde konumlanmış kusursuz bir gökdelenden bahsediyor olduğumuzu inkâr edemeyiz. Fakat nedense o uçan halıya bugün uçak veya uzay gemisi dediğimiz halde başlangıçta kanıtlamadan doğru kabul ettiğimiz aksiyomları kanıtladığımızdan haberimiz yok.

Bu ne demek mi şimdi?

Matematik bazı önermelerin doğru olduğunu ispat edemediği halde onları doğru olarak kabul eder. Biz bunlara aksiyom deriz. Sonra bu aksiyomları kullanarak diğer önermeleri kanıtlarız. Kanıtlayabildiğimiz bu önermelere de teorem deriz. Bu zincir devam eder, her yeni teori, önceki teoremler kullanılarak ispatlanır ve teoreme dönüşür, böylece gökdelen sarayımız inşa edilir. Gökte uçan nesnelerimiz de bu teorem zincirindeki halkalardan yararlandığı için başlangıçtaki doğru kabullerimiz sonuçlarda kanıtlanmış olur.

Kanıtlanmamış önermelere teori dediğimizi söylememe gerek yok, değil mi? Karıştırmayın, aksiyom doğru olduğu ispatlanmadan kabul edilen önermelere; doğruluğu kanıtlanmamış, kanıtlanması gereken/beklenen önermelere de teori denir. Bazı dünyalılar, teoremleşmesi gerektiği halde kanıtlanamadığı için teori düzeyinde kalan bazı saçma yanlış önermelere aksiyom muamelesi yapıyorlar, ne kadar komik değil mi?

Simgeler... Unutmadım; onları sonra sırası geldikçe öğreneceğiz.

Güç gösterisi zamanı… Anlam hız testi için daha vakit var.

Hoşçakalınız.

 mustafa akdeniz

Devamı