İspat Yöntemleri ve Yükseltgen Hisler

Merhaba,


İnanmak ve ikna olmak arasında ne gibi bir fark var? Endişelenmeyin hemen; felsefî bir paradoks/kısırdöngü arayışında değilim. Zaten, bu iki düşünsel eylem ya da karar aralığında herhangi bir paradoks/kısırdöngü yok. Yerinde bir kısıtlama yaptım, hoş görürseniz. İnanmak ve ikna olmak, düşünsel eylemlerdir. Bir diğer kısıtlamama göre, bir bütünün ayrılmaz iki karar aralığıdırlar. Biri diğerinin ardılıdır. İkna olmadan inanamazsınız. İkna olduktan sonra da tek seçeneğe sahipsiniz; inanmak. Söz dizisini anlamı kalınlaştırmak için değiştireyim; İnanmışsanız, ikna olmuşsunuz, ikna olmuşsanız inanmak zorundasınız.

Çok karışık bir mesele değildir bu. Biz Zarîralılar için gerçekten değil, içtenlikle söylemeliyim ki; sizin için de değil. Aramızdaki tek fark, bu matematiksel bütünlüğü bozmak için bizim bir neden aramayışımız.

Siz, ayrışmak, farklılaşmak ve yukarıda/özel görünmek için, daha açık bir deyişle kibrinizin etkisinde kalıp meydan okumak için, inanmak eylemini ikna olmadan teslim olmak olarak sınıflandırıyor; sınıflandırdığınız teslimiyetçileri de ilkel/geri kafalı diye nitelendirerek kriterlerini belirlediğiniz toplumsal yapının dışına itiyorsunuz. Kendinize de ikna olmak aralığını layık görüyor; gelişmekte olan bilgilerinizin içeriğine bağlı olarak kanıtlanmış önermeleri, kesin bilgi cetvellerinde görmekten mutlu oluyorsunuz.

Atom’un parçalanamaz olduğunu iddia etmiştiniz ve bunu kanıtlamıştınız da; fakat atom bombası yaptığınızda yanıldığınızı anladınız. Bu ciddi yanılgıdan ders aldınız; şu anda parçacıklar teorisini kanıtlamaya çalışırken, kuşku içindesiniz. Bin yıl önce maddenin sonsuzca kez bölünebileceğini iddia edenleriniz vardı, kanıtlayamadıkları için söyledikleri ciddiye alınmamıştı. Belki de ciddiye almamanızın temel nedenlerinden biri de sonsuz parçalanma sonucunda karşınıza çıkan yokluğun, varoluşun temeli olduğunu kanıtlayacağını düşünerek korktunuz.

Korku’nun ikna olmak eylemi ile hiçbir ilgisi yok. Bugün yokluktan madde üretmeye çalışan bilim adamlarınız korkularını bu işe bulaştırmamaları gerektiğini anladılar. Korku’nuz insan entegre tesislerinizin yüceliğiniz için hizmet edemeyecek duruma gelmesi olasılığından kaynaklanıyordu. Biliyorsunuz, her şeyin kendiliğinden olması, bir şeyin yoktan var olamayacağı gibi iddialarınız maddenin evrilmesinde kendiliğindenlikten sonra siz güçlülere değiştirme hakkı veriyordu. Sanat ve bilim sizin zekânızla ürettiğiniz ‘yaratı’lara sahipti. Teslimiyetçileri, ikna olmadan inanmış olanları kendinizden daha zeki olarak sınıflandıramazdınız.

Mutlu azınlıklar olarak, ilkel teslimiyetçileri yüceleştirdiğiniz teoremlerin hizmetkârları olarak kullanıyorsunuz. Hizmetkârlarınız da sizi, çıkarcı zâlimler olarak sınıflandırıp, sizin sağladığınız ayrık zeminlerde, sizin sağladığınız hizmet sınıfında yaşamaya devam ediyorlar. Formel okullarınızın, sizin istediğiniz birey tipine uygun üretim yapamamasının nedeni başka bir şey olabilir mi? Kurgularınızın hiçbiri sonsuza kadar işleyebilir sistemler üretemiyor. Asıl endişelenmeniz gereken paradoks bu. İkna olduğunuz zaman inanıyor görünüyor, ancak inanmak sizi kısıtladığı için şüphelerinizden kurtulamıyorsunuz. Genlerinizdeki doğallığa uygun bütünleşik eylemleri ayırmak sizin ruhsal dengenizi bozuyor.

Siz de biz Zâriralılar gibi mükemmel sonuçlar elde edemiyorsunuz. Yine aramızdaki farklardan birini de burada fosforlu kırmızı kalemle zihninize yazmalıyım; siz ikna olmak temelinde mükemmellik arıyorsunuz. Bu imkânsız. Mükemmellik/eksizlik yaratılış formunuza aykırıdır; eğer öyle olmasaydı, hiçbir bilimsel ilerleme sağlamanız mümkün olmazdı. İlk insanlar mükemmeli/eksiksizi üretmiş olacaklarından sizin düşünmenize, önerme üretmenize ve bu önermeleri kanıtlamanıza gerek kalmazdı.

Siz’i, dünyalılar olarak adlandırdığım için içinizdeki temel ayrıklığı ‘siz’ yerleşkesine monte etmiş olmama kızmayınız; dünyalılar olarak bir bütünsünüz. İkna olmuş olarak inananlarınızda bile, pragmaların baskın güdülenmesi var. Anlamsız gruplaşmalarla hareket nedenlerinizi başkalarına dayatmaktan vazgeçmiyorsunuz. Düşünün; binlerce yıllık dağınıklığınızı azaltmayı başardığınız yirminci yüzyılda, sizden birkaç kuşak önceki atalarınızın hayal bile edemeyeceği ilerlemeler kaydettiniz. Fakat yine de öldürmekten vazgeçmiyorsunuz.

İkna olmak ve inanmak düşünsel eylemlerdir, demiştim. Aynı zamanda ardıl karar aralığıdırlar. Neden? İkna olmak bir süreçtir; elde edilen kanıtların yaydığı paraziti az, hatta sıfır parazitli onama mesajlarının adım adım izlendiği ve her adımının önceki aksiyomlar ve teoremler tarafından sıkıca denetlendiği bir aralıktır, bu aralık sonucunda zihninizde oluşan düşünsel eylemdir. Bu süreç/aralık/düşünsel eylem sona erdikten sonra ikinci adımda inanmak süreci/aralığı/düşünsel eylemi başlar ve siz yaşadığınız sürece konu kapanır. Sizi hemen şimdi uyarmalıyım; konunun sizin için kapanmış olması, sizden başkaları için de kapanmış olduğu anlamına gelmemektedir. İkna odalarınız farklı zamanlarda veya mekânlarda olabilir; teorileriniz çakışmayabilir. Hayatın konumlandığı temel böyle bir şey işte; sürprizlere açık.

Kuşkuların sona erdiği aralık; ikna olmak aralığıdır. Ne kadar inanmayı reddetseniz de kanıtlanmış teoremleri reddedemediğinize göre, kabullenmek zorundasınız ve bu andan sonra kaçamayacağınız tek eylem vardır; nefret ettiğiniz inanmak. İlkel teslimiyetçiler gibi inanmak zorunda olmak sizi rahatsız etse de yapabileceğiniz hiçbir şey yok. İkna olmak; aynı zamanda inanmak demektir. Korkularınızı yenin, matematikçilerin dingin görünmelerindeki sır burada işte. Buldukları çözümlerin, ürettikleri teorilerin kanıtlanmasında maksimum fayda sağladığını gördüklerinde inanmaktan korkmuyorlar. Ellerine silah alıp öldürmüyorlar da. İyi düşünün.

Böyle yazarken bazen endişeleniyorum, sizi suçladığımı düşünmenizi istemediğim halde, böyle bir şeye neden olursam kendimi affedemem. Ancak kabul etmelisiniz ki; içtenlik biz Zâriralıların en büyük kusuru. Önermelerinizi nasıl ispat ettiğinizi, hangi teknikleri ürettiğinizi size anlatabilmem için ikna odalarını tanımanız gerekiyordu. Bunlar sizin ürettiğiniz değerler ve bu değerler sizin algılarınızı yükseltgen hislerle okşuyorlar.

Önermelerinizi nasıl ispat ettiğinizi irdeleyelim mi? Çok gecikmedik, acele etmeyin. Daha fazlası da var, ancak beş temel ispat yönteminden bahsedilir. Doğrudan ispat, olmayana ergi yöntemi, ters durum/ dolaylı yol/kontrapozitif ispat yöntemi, tümdengelim/dedüksiyon yöntemi veya konstrüktif ispat yöntemi ve tümevarım/endüksiyon yöntemi.

Adlarını akılda tutmak bile kolay değil. Kolay ya da zor göreli bir şey biliyorsunuz. İsterseniz elimizdeki sorundan bir önerme üretelim. “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak zordur.” Bu bir önerme oldu mu? Soruya evet veya hayır diye cevap verebileceğiniz gibi, doğru veya yanlış diye de cevap verebilirsiniz. Ama emin olun, evet veya hayır dediğinizde algılarınızda parazit oluşacak ve matematiğin melodik akışının incindiğini hissedeceksiniz. Doğru veya yanlış dediğinizde de derin bir akustik huzur doluşacak içinize. İşte o zaman anlayacaksınız ki, bu bir önermedir.

Bu önermemizi ilk yöntemimizle ispat edelim mi? Yani doğrudan ispat yöntemiyle? Ama ben biraz gri tatlar kullanacağım. “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak zordur.” Önermesinin yanlış veya doğru olduğuna karar vermemiz gerekir önce, ki; neyi ispat etmemiz gerektiğini bilelim. Önermenin hükmünü ‘zor’ veya ‘kolay’ seçme özgürlüğümüz var. İsterseniz ‘zordur’ hükmünün doğruluğunu doğrudan ispat yöntemiyle ispatlamaya çalışalım.

Gri tat demiştim, işte o tat; zor nedir, kime göre zor, hangi zamana ve zemine göre zor? Zor hakkında gri noktalar oluşturdum mu zihninizde? Bir yaşındaki bir çocuk için bir kilogramlık ağırlığı kaldırmak biraz zor olabilir, ama beş yaşındaki bir çocuk için aynı ‘biraz zor’ sıfatını kullanamayız. Yüz yıl önceki bazı zorlukların bugün zorluk sayılmaması gibi örneklerle zor üzerindeki kuşkularınızı güçlendirebiliriz. Görelilik, itirazları tıkayan bir şey.

Doğrudan ispat yöntemini kullandım mı şimdi ben? Zannedersem kullandım ve önermemizdeki ‘zor’ hükmünü zayıflattım. Henüz o hükmü tamamen yanlışlamış değilim; doğal olarak yanlışlamayı size bırakıyorum. Eğer birinci ispat yönteminin adı aklınızda kaldıysa, “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak zordur.” Önermesinin yanlış olduğunu siz söyleyeceksiniz.

Sahiden merak ettim, kaldı mı? Önermemiz yanlış mı?
Cevabınızı duyamadığım için zorunlu olarak ikinci ispat yöntemine geçiyorum; olmayana ergi yöntemine. Ne kadar karışık bir ad! Olmayana ergi. Olmayana özgü gibi bir şey. Veya yaptım olmadı’dan ilham alalım. Evet, evet tam olarak bu; yaptım olmadı.

Aslında doğrudan ispat yönteminde size oyun oynadım. Olmayana ergi yöntemini anlamanız için doğrudan ispat üzerinde biraz tahrifat yaptım. Önermemizi hatırlayalım mı? “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak zordur.” Eğer doğrudan ispat yönteminde önermemizi “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” Diyerek seçseydim ve kolay olduğunu gösterseydim, doğrudan ispatı sorunsuz olarak halledecektik. Fakat ben ne yaptım, hükmü ‘zor’ olarak seçtim ve zor’u zayıf düşürdüm, siz zor olmadığını düşündünüz.

Bana kızmayın; olmayana ergi yöntemiyle anlamanız içindi her şey… Olmayana ergi yöntemiyle “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” önermesini ispatlamak için küçük bir değişiklik yapmamız gerekiyor, hükmün, yani ‘kolay’ın zıddını, yani ‘zor’u alırsak ve önermeyi bu ‘zor’ hükmüne uygun olarak ispat etmeye kalkarda ispat edemezsek, yani “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak zordur.” Önermesini kanıtlayamazsak, o zaman mecburen diyeceğiz ki; “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” Olmayanı kanıtlayınca olanı da kabullenmiş oluyoruz.

Nasıl? Fena bir fikir değil, bence.

Doğrudan ispat, olmayana ergi yöntemiyle ispattan sonraki üçüncü ispat yöntemimiz ters durum/ dolaylı yol/kontrapozitif ispat yöntemi. Tuhaf bir dizin değil mi? Bunu da dolaylı yoldan ispat yöntemi olarak kısaltalım mı? Önermemiz hazır: “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” Bu önermeyi dolaylı yoldan ispat yöntemini kullanarak nasıl ispatlarız?

Konu matematiksel ispat yöntemlerinin adını akılda tutmak olduğuna göre zorluğu düşünmek doğal. “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” önermesinin yanlış olduğunu kabul edelim. Sonra işin rengini değiştirelim. Diyelim ki konu matematiksel ispat yöntemlerinin adını akılda tutmak olmasın, tutmamak olsun, o zaman hüküm de değişecek mi, ‘zor’ olacak mı? Bunların yerini de değiştireceğiz. Önerme değişecek: “Zor, Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmamaktır.” Hadi şimdi bunu doğrudan ispat yöntemiyle ispatlayalım. Geçmiş deneyimlerinize bakarak bu önermenin yanlış olduğunu herhalde hiçbiriniz itiraz etmeden kabul edeceksiniz. Son durumda elde ettiğimiz önerme yanlışsa, baştaki “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” önermesine yanlış dememiz de yanlış olacaktır. Ve biz bu yanlışlığı reddedeceğiz. Ve diyeceğiz ki:“Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.”İşte şimdi biz dolaylı yoldan “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” Önermesini ispatlamış olduk.

Olduk mu? Sizde ikna oldunuz mu?
Bu arada merak ettim: kaç tane ispat yöntemini aklınızda tutabildiniz? Kafanızı karıştırdıysam, emin olun bunu bilerek yaptım. Vazgeçecekseniz geçin. Vazgeçmediyseniz ilk üç yöntemi dilediğiniz kadar okuyun, ne kadar basit olduğunu göreceksiniz.

Dördüncü yöntemimiz, tümdengelim/dedüksiyon yöntemi veya konstrüktif ispat yöntemi… Adları nedense hep ürkütücü, ama bence siz dedüksiyonun tümdengelim yöntemi olduğunu aklınızda tutmak istiyorsanız, ‘dediğim dedik’ kazaklığını işin içine katın. Nasılsa tüm kazakların işi zordur; sonradan söylediklerini kanıtlamak zorundalar. Tümdengelim yöntemi ile sonraki tümevarım/endüksiyon yöntemi zıtkardeşlerdir. Dedüksiyon, önce der, hükmü ilan eder, sonra ispatlamaya kalkar, tümevarım ise kibardır; tek tek, adım adım ispat eder ve sonra sizi ikna ettiğine inandığı anda önermeyi kanıtlar.

İspat yöntemlerinin adını yazdığımda “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” deseydim ve sonra tek tek bu adların kolaylıkla aklınızda kaldığını gösterseydim, belki de işim daha kolay olacaktı. Ama bence, ben şu anda tam olarak bunu yapıyorum. ‘Kolaydır’ hükmünü dediğim dedik bir kararlılıkla size dayattım ve şimdi de adım adım bunu size ispat etmeye çalışıyorum. İşte tümdengelim yöntemi de bu.

Son olarak tümevarım/endüksiyon yöntemine geldik. Aslında şimdiye kadar yaptıklarım bir anlamda bu yöntemin basamaklarını her adımda sizi ikna ederek ilerleyerek ispat sürecini tamamlamaktan başka bir şey değildi. İlk dört yöntemi tümevarmak için kullandım ve şimdi size soruyorum; ikna oldunuz mu? “Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” önermesine doğru diyebiliyor musunuz?
Gelin şimdi her adımı yeniden, daha matematiksel seslerle irdeleyelim:
Doğrudan ispat, en temel ve en basit ispat şeklidir. Doğru olduğu gösterilmek istenen ifade, direk olarak, doğruluğu kanıtlanmış başka ifadelerle veya aksiyomlarla üretilir. Mesela; “Tüm insanlar ölümlüdür”, “Mustafa bir insandır.”, “O halde Mustafa bir ölümlüdür.” Ya da daha sıcak bir örnek 2+2=4 ‘tür. İki tane ikiyi topladığınızda dört ettiğini doğrudan ispat etmiş olursunuz.

Olmayana ergi yöntemiyle ispatta doğruluğunu göstermeyi planladığınız ifadenin yanlış olduğunu kabul ederek işe başlıyorsunuz. Yanlışlığı ispatlama yolunda bir çelişkiye varıyorsunuz. Sonuç olarak başta yanlış olduğunu kabul ettiğiniz ifadenin aslında doğru bir ifade olduğunu ispatlamış oluyorsunuz.

Şöyle bir önerme/hipotez seçelim: ”Kendi kendisiyle toplandığında kendisini veren sayı sıfırdır.” Olmayana ergi yöntemiyle ispatına bakalım şimdi: Bir x sayısını ele alalım. Önermede bizden x+x=x ise x=0 olduğunu göstermemiz isteniyor. Bu teknik ile ispatı göstermeye çalışalım. Hükmü (veya bazı durumlarda hükmün bir parçasını) olumsuz olarak alalım. Yani kabul edelim ki, x sıfırdan farklı bir sayı olsun. Bu durumda x+x ifadesine bakalım. Önermede bize x+x in x olduğu verilmişti. Yani x+x=x denilmişti. Ayrıca biz biliyoruz ki x+x=2x tir. Öyleyse bu eşitlikleri birleştirerek; x = 2x elde ederiz. x i sıfırdan farklı kabul ettiğimizden dolayı taraf tarafa x leri sadeleştirirsek (x in sıfırdan farklı olduğunu kabul etmeseydik bu sadeleştirmeyi yapamazdık). 1 = 2 sonucu elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. Bu çelişki x i sıfırdan farklı almamızdan kaynaklanmaktadır. Öyleyse x=0 olmalıdır. Sonuç olarak x=0 olması gerektiğinden ispat tamamlanmış oldu. Bu önermeden de görüldüğü gibi hükmü olumsuz kabul ederek bize verilen hipotezi kullanıp bir çelişkiye vardık. Bu çelişkinin sebebi de hükmü olumsuz kabul etmemizdir.(Bu örneği alıntıladım)

Ters durum/ dolaylı yol/kontrapozitif ispat yönteminde P ise Q ifadesi, değil Q ise değil P ifadesine denktir. Bu ispat tekniğine teoremin bildirdiği sonucun, tersini doğru kabul ederek başlıyoruz. Sonunda ise hipotezin yanlış olduğu ifadesine ulaşıyoruz.

Tümdengelim/dedüksiyon yöntemi veya konstrüktif ispat yöntemi, özellikle varoluş teoremlerinin ispatlanmasında kullanılır. Örneğin "Her rasyonel sayı çiftinin arasında bir rasyonel sayı vardır" önermesini ispatlarken iki rasyonel sayı alınır ve aralarında bulunduğu bahsedilen sayı, bu sayılar üzerinden inşâ edilir. Böylelikle gerçekten bir rasyonel sayının var olduğu ispatlanır.

Son olarak matematiğin en sevgili yöntemi tümevarım. Harika sesleri olağanüstü melodilerle bütünleştirip sizi mest eder. Verilen bir ifadenin tüm doğal sayılar için doğru olduğunu ispatlamakta kullanılan oldukça pratik bir yöntemdir. Bu yönteme ifadenin önce 1 için (daha doğrusu, ifadenin doğruluğunun başladığı doğal sayı için) doğru olduğu gösterilir. Daha sonra n doğal sayısı için doğru olduğu farz edilir ve n+1 doğal sayısı için doğru olduğu gösterilir. Bu da herhangi bir doğal sayı için doğruysa sonraki için de doğru olacağını ispatladığından bütün doğal sayılar için geçerli bir ifade olduğu anlamına gelecektir.(Bunu da...)

Bu yöntem genelde sonsuz sayıda domino taşlarının dizilmesine benzetilir. n. taşın devrilmesi bir sonraki yani n+1. taşın da devrilmesi anlamına geleceğinden taşların tamamı devrilecektir. Tabi ki yine n=1 için doğruluğunu söylemek lazım. Bunun için de ilk taşı devirmeniz yeterli olacaktır. Sizi ikna etmek için kullandığım yöntem gibi mesela.

“Matematiksel ispat yöntemlerinin adlarını akılda tutmak kolaydır.” Değil mi?

Hoşlandınız mı? İkna olmak ve inanmak bütünleşik miymiş? Matematik öğreneceğinize inandınız mı? Sizi ikna edebildim mi? Yoksa korkuyor musunuz?

Unutmadan teoremin üretilme aşamalarını anlatmalıyım. Bir probleminiz olur, verilerinizi masaya koyarsınız, probleme dayalı hipotez/teori/önerme kurmaya çalışırsınız, deney/ispat aşamalarından sonra önermenizi kabul veya ret edersiniz, işiniz biter. Bilimsel bir ispat yapmış olarak kendinize sevdiğiniz bir içeceği ısmarlayabilirsiniz.
Hoşça Kalınız.
(*)YazıDers 4

mustafa akdeniz




1 yorum:

  1. ispat-delil-teori-kanıt vb. ile alakalı okuduğum en güzel satırı aktarayım:

    "insan bir delil ile severse gün olur bir delil ile sevmekten vazgeçer"
    (alper gencer)

    YanıtlayınSil

Yorum Kuralları:

1- Yaptığınız yorumun hakaret içermemesine dikkat ediniz.

2- Yayınlanacak yorumlarınızın yazı ile alakalı olmasına özen gösteriniz.

3- Yazım ve dilbigisi kurallarına dikkat ediniz.

4- Yukarıdaki kurallardan herhangi birine uymamanız durumunda, yorumunuz yayınlanmayabilir.